Зміст

Цитуючи філю:підготувати до захисту реферат та програмне забезпечення, що реалізує інтерполяційне чи близьке до інтерполяційного наближення(лагранжа, ньютона, мнк-це апроксимаційний метод)

1.Інтерполяція 2

2.Лінійна інтерполяція  3

3.Метод скінченних різниць 4

4.Інтерполяційна формула Ньютона 6

5.Інтерполяцій́ний поліном Лагра́нжа  6

6.Сплайн-функція 8

6.1 B-сплайн 10

6.2 Кубічний сплайн 12

7.Задача оберненого інтерполювання 13

1.Інтерполяція

Інтерполяція — в обчислювальній математиці спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретним набором відомих значень.

Багатьом із тих, хто стикається з науковими та інженерними розрахунками часто доводиться оперувати наборами значень, отриманих експериментальним шляхом чи методом випадкової вибірки. Як правило, на підставі цих наборів потрібно побудувати функцію, зі значеннями якої могли б з високою точністю збігатися інші отримувані значення. Така задача називається апроксимацією кривої. Інтерполяцією називають такий різновид апроксимації, при якій крива побудованої функції проходить точно через наявні точки даних.

Існує також близька до інтерполяції задача, що полягає в апроксимації якої-небудь складної функції іншою, простішою функцією. Якщо деяка функція занадто складна для продуктивних обчислень, можна спробувати обчислити її значення в декількох точках, а за ними побудувати, тобто інтерполювати, простішу функцію. Зрозуміло, використання спрощеної функції не дозволяє одержати такий ж точні результати, які давала б початкова функція. Але, для деяких класів задач, досягнутий виграш у простоті і швидкості обчислень може переважити отриманий огріх у результатах.

Визначення інтерполяції

Розглянемо систему незбіжних точок з деякої області D . Нехай значення функції відомі тільки в цих точках:

,

Завдання інтерполяції полягає у пошуку такої функції F із заданого класу функцій, що:

,

• точки називають вузлами інтерполяції, а їх сукупність - інтерполяційної сіткою.

• пари називають точками даних або базовими точками.

• різниця між "сусідніми" значеннями - кроком інтерполяційної сітки. Він може бути як змінним так і постійним.

• функцію F(x) - функцією що інтерполює або інтерполянтом.

Способи інтерполяції

На практиці найчастіше застосовують інтерполяцію многочленами. Це пов'язано насамперед з тим, що многочлени легко обчислювати, легко аналітично знаходити їх похідні і безліч многочленів щільні в просторі неперервних функцій ( теорема Вейєрштрасса).

Види інтерполяції:

• Лінійна інтерполяція

• Метод скінченних різниць

• Интерполяционная формула Ньютона

• Поліном Лагранжа (інтерполяційний поліном)

• Сплайн-функція

• В-сплайн

• Задача оберненого інтерполювання

2.Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція — це інтерполяція функції f алгебраїчним двочленом P₁(x) = kx + c у точках x₀ та x₁, які належать відрізку [a, b].

Геометрична інтерпретація

З геометричної точки зору це означає заміну функції   прямою,яка проходить через точки   та  .

Рівняння такої прямої має вигляд:

звідси для   маємо:

Це і є формула лінійної інтерполяції, при чому

де   — похибка формули, яка обчислюється за формулою:

Для неї є справедливою наступна оцінка:

Рис.1. Лінійна інтерполяція функції (сині прямі)

Крім лінійної інтерполяції існують також поняття: білінійної та бікубічної інтерполяцій.

Білінійна інтерполяція - в обчислювальній математиці розширення лінійної інтерполяції для функцій двох змінних. Ключова ідея полягає в тому, щоб провести звичайну лінійну інтерполяцію спочатку в одному напрямку, а потім в іншому. 

Бікубічна інтерполяція – це розширення кубічної інтерполяції на випадок функції двох змінних, значення якої задані на двовимірній регулярній сітці. Поверхня, отримана в результаті бікубічної інтерполяції є гладкою функцією, на відміну від поверхонь, отриманих в результаті білінійної інтерполяції чи інтерполяціі методом найближчого сусіда. Дана інтерполяція теж часто використовується в обробці зображень, даючи більш якісне зображення в порівнянні з білінійною інтерполяцією. У випадку використання бікубічної інтерполяції значення функції в шуканої точці обчислюється через її значення в 16-ти сусідніх точках.