КОНТРОЛЬНА РОБОТА №3
Зразок розв’язання і оформлення контрольної роботи №3
Варіант № 31
Завдання 3.1.31.
Показати, що функція
задовольняє співвідношення
і обчислити диференціал функції у точці
М(1;
-2) при
.
Розв’язання.
Використовуємо означення похідних
другого порядку , а саме:
,
,
обчислюємо спочатку частинні похідні
першого порядку
;
.
Далі
обчислюємо мішані частинні похідні
другого порядку
Таким чином, дійсно
.
Повний
диференціал функції двох змінних
визначається за формулою
.
Для даної функції він має вигляд:
.
При
отримаємо:
.
Завдання 3.2.31. Знайти екстремум функції
Розв’язання. Знайдемо спочатку критичні точки, тобто точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, або не існують (саме в цих точках може міститися екстремум функції)
;
.
Розв’язуємо систему
і отримуємо координати критичні точки
.
Далі
перевіряємо за допомогою достатньої
умови існування екстремуму чи буде в
точці
екстремум. З цією метою обчислюємо
похідні другого порядку
,
,
,
.
Складаємо
визначник другого порядку з цих похідних
в точці
.
В нашому випадку частинні похідні
другого порядку виявляються сталими
величинами і тому
.
Таким
чином, в критичній точці
функція
має мінімум, тому що
Обчислимо мінімальне значення функції
.
Завдання
3.3.31.
а) Знайти невизначений інтеграл
Розв’язання.
Для
знаходження інтеграла застосуємо
формулу заміни змінної для невизначеного
інтеграла ,
а
саме:
Таким чином,
;
б) знайти невизначений інтеграл
.
Розв’язання. Для знаходження інтеграла застосуємо формулу інтегрування частинами.
Використовуючи
зауваження до неї, тобто позначаючи
через
обернену тригонометричну функцію
Таким чином,
;
в) обчислити невизначений інтеграл
.
Розв’язання.
В цьому прикладі підінтегральна функція
є правильною раціональною функцією.
Розкладемо знаменник дробу на добуток
лінійного множника та неповного квадрата
різниці
.
Далі розкладаємо підінтегральну функцію на два доданки з невизначеними поки що коефіцієнтами
(1)
Для визначення коефіцієнтів А, В, С праву частину рівності (1) зводимо до спільного знаменника і групуємо члени чисельника
Прирівнюючи
коефіцієнти при однакових степенях у
правій і лівій частинах чисельників
дробів, дістанемо систему лінійних
рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів
:
Розв’язок
цієї системи такий:
Таким
чином, підінтегральна функція дорівнює
і
.
Кожний з інтегралів обчислюємо окремо.
1.
тому, що підінтегральній функції в
чисельнику міститься точна похідна
знаменника.
2.
Таким чином,
;
г) обчислити невизначений інтеграл
.
Розв’язання.
В цьому інтегралі підінтегральна функція
є ірраціональною і тому для перетворення
цього інтеграла в інтеграл від раціональної
функції зробимо таку заміну:
(де
=Н.С.К.
(2) = 2).
Таким чином,
.
;
;
д) обчислити невизначений інтеграл
.
Розв’язання.
Підінтегральна функція є тригонометричною,
а саме, раціональною від
.
Такі інтеграли беруться за допомогою
універсальної тригонометричної
підстановки
:
Таким чином,
.
е) обчислити невизначений інтеграл
.
Розв’язання.
Застосуємо підстановку
,
тоді отримаємо:
Таким чином,
.
Завдання 3.4.31.
а)
Обчислити визначений інтеграл
.
Розв’язання.
Застосуємо
спочатку формулу заміни змінної під
знаком визначеного інтеграла
Таким чином,
б)
Обчислити визначений інтеграл
Розв’язання.
Застосуємо спочатку формулу інтегрування частинами, тому що підінтегральна функція є добутком степеневої функції і тригонометричної
.
Таким чином,
.
Завдання
3.5.31.
Обчислити площу фігури, обмеженої
лініями
.
Розв’язання.
По-перше, в системі координат ХОУ
зробимо рисунок фігури, для чого за
даними рівняннями нарисуємо відповідні
лінії:
-
парабола,
-
пряма.
Між параболою і прямою утворюється фігура, яку можна розглядати як різницю двох криволінійних трапецій АВСД і АВОСД.
Основою
обох трапецій є відрізок
початок
А
і кінець Д
якого
є абсцисами точок перетину параболи і
прямої. Знайдемо абсциси точок перетину
даних ліній. Розв’язуючи
систему рівнянь, знаходимо межі
інтегрування.
.
Знаходимо площу
Таким чином,
кв.
од.
Завдання
3.6.31.
Обчислити довжину дуги АВ
кривої
від точки А(0,1)
до точки В
.
Розв’язання.
Оскільки
,
то одержимо
.
Таким чином,
(од.).
Завдання 3.7..31.
а) Визначити, чи буде збіжним (або розбіжним) такий невласний інтеграл:
.
Розв’язання.
Цей інтеграл є невласним інтегралом першого роду і, за означенням дорівнює
,
Таким чином,
,
Тобто
цей невласний інтеграл є збіжним і його
величина дорівнює числу
.
б) Визначити, чи буде збіжним (або розбіжним) такий невласний інтеграл:
.
Розв’язання.
Цей інтеграл є невласним інтегралом другого роду і, за означенням дорівнює
Таким
чином,
Тобто
цей невласний інтеграл є розбіжним і
його величина дорівнює
.
Завдання
3.8..31.
Обчислити обсяг виготовленої продукції
за
проміжок часу
,
якщо продуктивність праці
год.
,
год.
Розв’язання.
Для обчислення
застосуємо
формулу
,
а саме
одиниць
продукції.
Варіанти завдань контрольної роботи №3 Завдання 3.1. Показати, що функція задовольняє задане співвідношення і обчислити диференціал функції у точці м(х,у) при заданих .
|
3.1.1.
|
|
|
3.1.2.
|
|
|
3.1.3.
|
|
|
3.1.4.
|
|
|
3.1..5.
|
|
|
3.1.6.
|
|
|
3.1.7.
|
|
|
3.1.8.
|
|
|
3.1.9.
|
|
|
3.1.10.
|
|
|
3.1.10
|
|
|
3.1.11.
|
|
|
3.1.13.
|
|
|
3.1.14
|
|
|
3.1.15
|
|
|
3.1.16.
|
|
|
3.1.17.
|
|
|
3.1.18.
|
|
|
3.1.19.
|
|
|
3.1.20.
|
|
|
3.1.21.
|
|
|
3.1.22.
|
|
|
3.1.23.
|
|
|
3.1.24.
|
|
|
3.1.25.
|
|
|
3.1.26.
|
|
|
3.1.27.
|
|
|
3.1.28.
|
|
|
3.1.29.
|
|
|
3.1.30.
|
|
.
;
М(1; 1);
.
.
;
М(
; 0);
.
.
;
М(–2; 1);
.
.
;
М(3; 2);
.
.
;
М(–1; 1);
.
.
;
М(3; 4);
.
.
;
М(1; 4);
.
.
;
М(2; –2);
.
.
;
М(4; 2);
.
.
М(3; 1);
.
.
;
М(
;–
);
.
.
;
М(5; –4);
.
.
;
М(
; 0);
.
.
;
М(4; –1);
.
.
;
М(2; 4);
.
.
;
М(0; –
);
.
.
;
М(3; –6);
.
.
;
М(е; 1);
.
.
;
М(–
; 0)
.
;
М(е; 1);
.
.
;
М(1; –2);
.
.
;
М(3; 4);
.
.
;
М(0;–
);
.
.
;
М(
;
);
.
.
;
М(
;
);
.
.
;
М(–2; 0);
.
.
;
М(1; 1);
.
.
;
М(
;
);
.
.
;
М(
;
);
.
.
;
М(–4; 2);
.Завдання 3.2.Дослідити на екстремум функцію .
|
3.2.1.
|
3.2.2.
|
|
3.2.3.
|
3.2.4.
|
|
3.2.5.
|
3.2.6.
|
|
3.2.7.
|
3.2.8.
|
|
3.2.9.
|
3.2.10.
|
|
3.2.11.
|
3.2.12.
|
|
3.2.13.
|
3.2.14.
|
|
3.2.15.
|
3.2.16.
|
|
3.2.17.
|
3.2.18.
|
|
3.2.19.
|
3.2.20.
|
|
3.2.21.
|
3.2.22.
|
|
3.2.23.
|
3.2.24.
|
|
3.2.25.
|
3.2.26.
|
|
3.2.27.
|
3.2.28.
|
|
3.2.29.
|
3.2.30.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Завдання 3.3. Знайти інтеграли.
|
3.3.1. |
а) б) в) |
г)
д)
е) |
|
3.3.2.
|
а)
б)
|
г)
д)
|
|
3.3.3.
|
а)
б)
в)
|
г) |
|
3.3.4.
|
а)
б)
в)
|
г) |
|
3.3.5. |
а)
б)
в)
|
г)
д)
|
|
3.3.6.
|
а)
б)
|
г)
д)
|
|
3.3.7. |
а)
б)
в)
|
г)
д)
|
|
3.3.8. |
а) |
г) е) |
|
3.3.9. |
а) |
г)
д)
|
|
3.3.10. |
а)
б)
в)
|
г)
д)
|
|
3.3.11. |
а)
б)
в)
|
г) д)
|
|
3.3.12. |
а) б)
в)
|
г) д) е) |
|
3.3.13. |
а)
б)
в)
|
г) д)
|
|
3.3.14. |
а)
б)
|
г) |
|
3.3.15. |
а)
в)
|
г)
|
|
3.3.16. |
а)
в)
|
г) |
|
3.3.17.
|
а)
б)
в)
|
г)
д)
е)
|
|
3.3.18. |
а) |
г) |
|
3.3.19. |
а) б)
|
г) |
|
3.3.20. |
а)
б)
в)
|
г) |
|
3.3.21. |
а)
б)
в)
|
г) |
|
3.3.22. |
а)
б)
в)
|
г) |
|
3.3.23. |
а)
б)
в)
|
г)
|
|
3.3.24. |
а) б) в |
г)
е) |
|
3.3.25. |
а)
б)
в)
|
г) |
|
3.3.26. |
а) в)
|
г) д) |
|
3.3.27. |
а) в)
|
г) |
|
3.3.28. |
а)
б)
в)
|
г) |
|
3.3.29. |
а) в)
|
г) д)
|
|
3.3.30. |
а)
б)
в)
|
г) |
;
;
;
;
;
.
;
;
в)
;
;
;
е)
.
;
;
;
д)
;
е)
.
;
;
;
;
д)
;
е)
.
;
;
;
;
е)
.
;
;
в)
;
;
;
е)
.
;
;
;
;
е)
.
;
б)
;
в)
;
;
д)
;
. 
б)
;
в)
;
;
;
е)
.
;
;
;
;
;
е)
.
;
;
;
;
;
е)
.
;
;
;
;
;
е)
;
;
в)
;
;
д)
;
е)
;
б)
;
;
;
д)
;
е)
.
;
б)
;
;
;
д)
;
е)
.
;
;
;
;
;
.
;
б)
;
в
;
;
д)
;
е)
.
;
;
в)
;
;
д)
;
е)
.
;
;
; 
;
д)
;
е)
.
;
;
;
;
д)
;
е)
.
;
;
;
;
д)
;
е)
.
;
;
;
;
д)
;
е)
.
;
;
;
д)
;
.
;
;
;
;
д)
;
е)
.
;
б)
;
;
;
;
е)
.
;
б)
;
;
;
д)
;
е)
.
;
;
;
;
д)
;
е)
.
;
б)
;
;
;
;
е)
;
;
;
;
д)
;
е)
.
Завдання 3.4. Обчислити визначений інтеграл
|
3.4.1.
|
а) |
б) |
|
3.4.2. |
а) |
б) |
|
3.4.3. |
а) |
б) |
|
3.4.4.
|
а) |
б)
|
|
3.4.5. |
а)
|
б) |
|
3.4.6.
|
a) |
б) |
|
3.4.7. |
а)
|
б) |
|
3.4.8.
|
а)
|
б)
|
|
3.4.9.
|
а)
|
б)
|
|
3.4.10.
|
а)
|
б)
|
|
3.4.11.
|
а)
|
б)
|
|
3.4.12.
|
а) |
б)
|
|
3.4.13. |
а)
|
б) |
|
3.4.14.
|
а)
|
б) |
|
3.4.15.
|
а) |
б) |
|
3.4.16.
|
а) |
б)
|
|
3.4.17. |
а)
|
б)
|
|
3.4.18.
|
а) |
б)
|
|
3.4.19. |
а)
|
б)
|
|
3.4.20.
|
а) |
б)
|
|
3.4.21. |
а) |
б)
|
|
3.4.22.
|
а)
|
б) |
|
3.4.23. |
а) |
б)
|
|
3.4.24.
|
а) |
б)
|
|
3.4.25. |
а) |
б) |
|
3.4.26.
|
а) |
б) |
|
3.4.27. |
а) |
б) |
|
3.4.28.
|
а) |
б) |
|
3.4.29. |
а) |
б) |
|
3.4.30.
|
а) |
б) |
;
;
;
;
;
.
;
.
;
;
;
;
;
;
;
Завдання 3.5. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями
|
3.5.1.
|
3.5.2.
|
|
3.5.3.
|
3.5.4.
|
|
3.5.5.
|
3.5.6.
|
|
3.5.7.
|
3.5.8.
|
|
3.5.9.
|
3.5.10.
|
|
3.5.11.
|
3.5.12.
|
|
3.5.13.
|
3.5.14.
|
|
3.5.15.
|
3.5.16.
|
|
3.5.17.
|
3.5.18.
|
|
3.5.19.
|
3.5.20.
|
|
3.5.21.
|
3.5.22.
|
|
3.5.23.
|
3.5.24.
|
|
3.5.25.
|
3.5.26.
|
|
3.5.27.
|
3.5.28.
|
|
3.5.29.
|
3.5.30.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Завдання 3.6. Знайти довжину дуги кривої:
|
3.6.1. |
3.6.2. |
|
3.6.3. |
3.6.4.
|
|
3.6.5.
|
3.6.6.
|
|
3.6.7.
|
3.6.8.
|
|
3.6.9.
|
3.6.10.
|
|
3.6.11.
|
3.6.12.
|
|
3.6.13.
|
3.6.14.
|
|
3.6.15.
|
3.6.16.
|
|
3.6.17.
|
3.6.18.
|
|
3.6.19.
|
3.6.20.
|
|
3.6.21.
|
3.6.22.
|
|
3.6.23. |
3.6.24.
|
|
3.6.25.
|
3.6.26.
|
|
3.6.27.
|
3.6.28. |
|
3.6.29.
|
3.6.30.
|
Завдання 3.7. Обчислити невласні інтеграли або довести їх розбіжність.
|
3.7.1. |
а) |
б)
|
|
3.7.2. |
а)
|
б)
|
|
3.7.3.
|
а)
|
б)
|
|
3.7.4. |
а) |
б)
|
|
3.7.5. |
а) |
б)
|
|
3.7.6. |
) |
б)
|
|
3.7.7. |
а) |
б)
|
|
3.7.8. |
а) |
б)
|
|
3.7.9. |
а) |
б)
|
|
3.7.10. |
а) |
б)
|
|
3.7.11. |
а) |
б)
|
|
3.7.12. |
а) |
б)
|
|
3.7.13. |
а) |
б)
|
|
3.7.14. |
а) |
б).
|
|
3.7.15.
|
а) |
б)
|
|
3.7.16. |
а) |
б)
|
|
3.7.17. |
а) |
б)
|
|
3.7.18. |
а) |
б)
|
|
3.7.19. |
а) |
б)
|
|
3.7.20. |
а) б)
|
а) б)
|
|
3.7.21. |
а) |
б)
|
|
3.7.22. |
а) |
б)
|
|
3.7.23. |
а) |
б)
|
|
3.7.24. |
) |
б)
|
|
3.7.25. |
а) |
б)
|
|
3.7.26. |
а) |
б)
|
|
3.7.27. |
а) |
б)
|
|
3.7.28. |
а) |
б)
|
|
3.7.29. |
а) |
б)
|
|
3.7.30. |
а) |
б)
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Завдання
3.8.
Обчислити обсяг виготовленої продукції
F
за
проміжок часу
,
якщо продуктивність праці f(t)
дорівнює
|
3.8.1. |
3.8.2.
|
|
3.8.3.
|
3.8.4.
|
|
3.8.5.
|
3.8.6.
|
|
3.8.7.
|
3.8.8.
|
|
3.8.9.
|
3.8.10. |
|
3.8.11.
|
3.8.12.
|
|
3.8.13.
|
3.8.14.
|
|
3.8.15.
|
3.8.16.
|
|
3.8.17.
|
3.8.18.
|
|
3.8.19.
|
3.8.20.
|
|
3.8.21.
|
3.8.22. |
|
3.8.23.
|
3.8.24.
|
|
3.8.25.
|
3.8.26.
|
|
3.8.27.
|
3.8.28.
|
|
3.8.29.
|
3.8.30.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.