Основные задачи динамики материальной точки.
Цель работы: знакомство с двумя основными задачами динамики материальной точки.
Задача Д1: вычислить и построить траекторию движения материальной точки массой 1 кг под действием силы , проекции которых на оси и и начальные условия представлены в табл. Д1.1 и Д1.2.
Указания: задача Д1 на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. Решение задачи имеет следующие этапы: составление дифференциальных уравнений, вычисление общего интеграла, нахождение закона движения материальной точки с использованием начальных условий, определение траектории точки, построение траектории точки на чертеже.
Пример Д1: вычислить и построить траекторию движения материальной точки массой 1 кг под действием силы F, проекции которой на оси и соответственно равны: 0 и (H), используя начальные условия: М0 (1;4), V0=.
Таблица Д1.1 (предпоследняя цифра зачетной книжки) |
|
Таблица Д1.2 (последняя цифра зачетной книжки) |
||||||
№ пп |
Проекция силы на , |
|
№ пп |
Проекция силы на , |
||||
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
2 |
||
1 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
4 |
||
2 |
0 |
-2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
||
3 |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
||
4 |
0 |
1 |
2 |
4 |
2 |
2 |
3 |
|
5 |
0 |
-1 |
1 |
5 |
2 |
6 |
4 |
|
6 |
0 |
2 |
3 |
6 |
1 |
1 |
||
7 |
0 |
1 |
-2 |
7 |
2 |
0 |
||
8 |
0 |
2 |
-4 |
8 |
0 |
6 |
||
9 |
0 |
5 |
-1 |
9 |
2 |
3 |
2 |
Решение:
-
По второму закону Ньютона проекция силы на равна произведению массы материальной точки на вторую производную от по времени ; т. к. =1кг, имеем . Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим , где и - постоянные интегрирования. Подставив начальные условия () в данные уравнения, найдем и закон изменения абсциссы материальной точки:
.
-
По второму закону Ньютона проекция силы на равна т. е. .
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:
, где и - постоянные интегрирования. Подставив начальные условия () в данные уравнения, найдем и закон изменения ординаты материальной точки:
.
-
Таком образом, уравнение движения материальной точки .
Для получения траектории следует из данных уравнений исключить параметр t:
.
-
Построим данную кривую:
Y
M0
0
X
Ответ:.
Лабораторная работа №4.