Министерство образования РФ

Владимирский Государственный Гуманитарный Университет

Теоретическая механика.

Методические указания и контрольные задания.

Владимир 2010

Теоретическая механика: методические указания.

Методическая разработка предназначена для студентов; представляет собой ряд многовариантных задач по основным разделам теоретической механики, рекомендации по решению, примеры с решениями по каждому разделу.

Составитель: доцент Кошкин В. Л.

Ответственный за выпуск доцент Игонин В. А.

Печатается по решению редакционно-издательского Совета ВГГУ.

Методические указания.

В курсе теоретической механики студенты изучают три раздела: кинематику, динамику и статику.

1. Для изучения курса необходимо иметь соответствующую математическую подготовку. Во всех разделах широко используется векторная алгебра. Необходимо уметь вычислять проекции векторов на координатные оси, находить геометрически и аналитически сумму векторов, вычислять скалярное и векторное произведение двух векторов и знать свойства этих произведений, а в кинематике и динамике – дифференцировать векторы. Надо также уметь свободно пользоваться системой прямоугольных декартовых координат, знать единичные векторы (орты) этих осей и как выражаются составляющие вектора по координатным осям с помощью ортов.

Для изучения кинематики надо уметь дифференцировать функции одной переменной, строить графики этих функций, знать основы теории кривых 2-го порядка.

Для изучения динамики надо уметь находить интегралы от функций, вычислять частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных, а также уметь интегрировать дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными и линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2. Изучать материал рекомендуется по темам или по главам учебника. Сначала следует прочитать весь материал темы, особенно не задерживаясь на том, что показалось не совсем понятным; часто это становится понятным из чтения последующего материала. Затем надо вернуться к местам, вызвавшим затруднения, и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении обратите на формулировки соответствующих определений, теорем и т. п.; в формулировках существенно каждое слово и полезно знать, почему данное положение сформулировано именно так. Не следует заучивать формулировки, важно понять их смысл и уметь изложить своими словами. Закончив изучение темы, полезно составить краткий конспект по возможности, не заглядывая в учебник.

При изучении курса особое внимание следует уделить приобретению навыков решения задач. Для этого, изучив материал данной темы надо обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, обратив особое внимание на методические указания по их решению.

3. Закончив изучение темы, нужно проверить, можете ли вы дать ответ на все вопросы программы курса по этой теме.

Кинематика.

Лабораторная работа №1.

Траектория движения материальной точки.

Цель работы: приобретение теоретических знаний о способах задания движения материальной точки. Усвоение практических навыков вычисления параметров движения и построение траекторий движения материальной точки.

Задача К1: материальная точка движется в плоскости . Закон движения задан уравнениями: , где и выражены в сантиметрах, - в секундах (табл. К1.1, К1.2). Найти:

1. Уравнение траектории движения точки;

2. Построить данную траекторию на чертеже;

3. Определить скорость, ускорение точки в момент времени .

Указания: задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяется скорость и ускорение точки при координатном и естественном способах задания движения. В данной задаче искомые величины нужно определить для момента времени . при определении траектории движения точки следует использовать тригонометрическую формулу

Таблица К1.1 Таблица К1.2

(предпоследняя цифра зачетной книжки)				(последняя цифра зачетной книжки)
№пп					№пп
0					0
1					1
2					2
3					3
4					4
5					5
6					6
7					7
8					8
9					9

Пример К1: даны уравнения движения точки в плоскости : – в сантиметрах, – в секундах. Найти:

1. Уравнение траектории точки;

2. Построить данную траекторию на чертеже;

3. Определить скорость, ускорение точки в момент времени .

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения время

Уравнение траектории точки представляет собой уравнение эллипса с центром в т. С(2;1) и полуосями 1 и 2.

Найдем положение точки в момент времени .

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

Y

M₁

C

O x

Рис. К1

;

Построим вектор на рисунке К1 в т. М₁.

3.Ускорение точки найдем по формулам

-8-

Ответ:;; .

Лабораторная работа №2.

Кинематический анализ работы плоского механизма.

Цель работы: знакомство с работой простейших плоских механизмов. Использование в практических расчетах основной теоремы кинематики, центра мгновенных скоростей. Изучение работы отдельных звеньев: кривошипа, ползуна, шатуна.

Задача К2: плоский механизм состоит из стержней 1-4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами (рис. К2.0 – К2.9). Длины стержней: . Положение механизма определяется углами , которые вместе с другими величинами заданы в таблице К2. Точка на всех рисунках и точка на рис. 7-9 в середине соответствующего стержня. Определить величины, указанные в таблице в столбце «найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают углы, т. е. по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол на рис. 1 следует отложить от стержня против хода часовой стрелки, а на рис. 2 – от стержня по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом ; ползун и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в

примере К2 (см. рис. К2). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость – от точки к .

Указания: задача К2 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Предпоследняя цифра зачетной книжки

О1 2 3 Е D 4 В b O2 Рис. К2.0	2 E A 3 4 D O1 1 B O2 Рис. К2.1
О2 4 А 2 D E O1 3 B b Рис. К2.2	b 2 E D B 4 3 O2 O1 Рис. К2.3
1 А 3 D B b O1 2 E O2 4 Рис. К2.4	O2 4 E 3 2 B D O1 A B 1 Рис. К2.5
O2 A 3 E 1 4 O1 D 2 B b Рис. К2.6	O1 2 K A 3 D 4 B O2 E Рис. К2.7
4 E 3 K D O2 b 2 B O1 Рис. К2.8	E b 4 O1 B D K 1 A O2 Рис. К2.9

Таблица К2

Последняя цифра зачетной книжки

Номер условия	Углы					Дано			Найти
						,	,	,
0	30	150	120	0	60	6	-	-
1	60	60	60	90	120	-	3	-
2	0	120	120	0	60	-	-	10
3	90	120	90	90	60	10	-	-
4	0	150	30	0	60	-	4	-
5	60	150	120	90	30	-	-	8
6	30	120	30	0	60	8	-	-
7	90	150	120	90	30	-	5	-
8	0	60	30	0	120	-	-	6
9	30	120	120	0	60	4	-	-

A

B V_A 1

V_B 60°

120°

6. O₁

90°

C₃ C₂

D

2 V_D O₂

30°

E 4

V_E

Рис. К2

Пример К2: Механизм (рис. К2) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано:

.

Определить: .

Решение:

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами.

2. Определяем . Точка Е принадлежит стержню АЕ. Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи можем определить :

, .

Направление найдем, учтя, что точка Е принадлежит одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂; следовательно, . Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

.

3. Определяем . Точка В принадлежит стержню ВD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная и , построим мгновенный центр скоростей стержня АЕ; это точка С₂, лежащая на пересечении

перпендикуляров и , восстановленных из точек А и Е (к и перпендикулярны стержни 1 и 4). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АЕ вокруг С₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку С₂D, соединяющему точки D и С₂, и направлен в сторону поворота. Величину V_D найдем из пропорции .

Чтобы вычислить и , заметим, что АС₂Е – прямоугольный, т. к.острые углы в нем равны 30 и 60°, и что . Тогда АС₂D является односторонним и С₂А=С₂D. в результате получим

.

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Тогда, восстанавливая из точек B и D перпендикуляры к скоростям и , построим мгновенный цент скоростей С₃ стержня ВD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня ВD вокруг центра С₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня ВD. Из рис. К2 видно, что C₃DB=30°, а DC₃B=90°, откуда С₃В=_{3 3}D=₃ . Составив пропорцию, найдем, что

.

4. Определяем . Так как мгновенный центр скоростей стержня 3 известен (точка С₃), то

.

Ответ: , , .

Динамика.

Лабораторная работа №3.