4. Движение жидкости по трубам. Скорость

течения.

dr

Рассмотрим цилиндрическую трубу радиуса R и выделим в ней цилиндр с меньшим радиусом r . Площадь сечения малого цилиндра будет S = r² ; площадь боковой поверхности цилиндра будет S = rl . Здесь действуют две силы: сила, которая гонит жидкость по трубе, то есть сила, равная разности сил давления на жидкость справа и слева трубы F = F1 – F2 = p1r² – p2r² = (p1 – p2)r² и сила жидкого трения о стенки трубы Fтр = dv/dr)S = (dv/dr)2rl. Эти силы равны по модулю, но противоположно направлены. Приравняем их: F = Fтр

(p1 – p2) = -dv/dr)2rl

Знак минус в правой части уравнения говорит о том, что dv/dr < 0, т.е. скорость жидкости уменьшается с увеличением радиуса r, иными словами, чем ближе к стенкам трубы, тем скорость жидкости меньше. Или:

dv = (p1-p2) rdr

2l

Мы получили дифференциальное уравнение. Решая его, получим:

Окончательно получим:

v = (p1 – p2) (R² – r²)

4l

Согласно этому уравнению, при перемещении от центра трубы к периферии, скорость течения жидкости изменяется по параболическому закону:

Если r = 0, то есть по оси цилиндра, то v = (p1 – p2)R²/4lимеет наибольшее значение, т.е. v = vmax Если же r = R, то v = 0

Следовательно, наибольшая скорость течения жидкости – по оси трубы, а у стенки – наименьшая.

5. Закон Пуазейля. Гидравлическое

(периферическое) сопротивление.

Французский врач и физик Пуазейль, изучая движение жидкости по цилиндрической трубе, вывел закон, который получил его имя.

Введём единицу Q , которая будет обозначать секундный объём жидкости, протекающий через трубу, т.е. Q = V/t или dQ = vdS или dQ = v2rdr

Имеем из предыдущего параграфа:

v = (p1 – p2) (R² – r²)

4l

Тогда :

dQ = (p1 – p2) (R² – r²)rdr

2l

Получили дифференциальное уравнение. Решая его, интегрируя по всему сечению, получим:

Q = (p1 – p2)R⁴

8l

Можно сравнить его с законом Ома для участка цепи: I = U/R

I ~ Q

U~ (p1 – p2)

R~ Z

Q = (p1 – p2)/Z

Здесь Z = 8l/R⁴ - гидравлическое (периферическое) сопротивление.

Следует отметить, что оно сильно зависит от радиуса трубы. При увеличении радиуса трубы в 2 раза, гидравлическое сопротивление уменьшается в 16 раз! Вот как выгодно для уменьшения сопротивления увеличивать радиус трубы.