43. Расчет распределения давления в пласте конечно-разносным методом в плоской задачи вытеснения нефти водой с учетом двухфазности потока.

Пусть пласт длиной L_x , шириной L_y разрабатывается с N_с скважинами в режиме заводнения. Требуется найти распределение давления и нефте-водонасыщенности в пласте , а также суточные, месячные и годовые технологические показатели разработки. Процесс фильтрации нефти и воды в пласте описывается системой уравнений (9)-(10)

(9)

(10)

Здесь (11а)

(11б)

c(x,y,z)=

Эта задача не имеет аналитического решения, поэтому применяют численный метод- метод конечных разностей.

|_xi = lim (P(x_i+∆x) –P(x_i))/∆x при ∆x→0

|_xi ~ (P(x_i+∆x) –P(x_i))/∆x, x_i+∆x=х_{i+1 (13)}

1. Построение сетки. Пласт разбивается на прямоугольные ячейки. Центрам ячеек присваиваются номера: i – номер столбца, j – номер строки. Количество ячеек N_х* N_у

2. граница пласта и скважины сносятся к центрам ближайших ячеек.

3.в ячейки – скважины заносятся заданные параметры пласта: проницаемость, пористость, нефтенасыщенная толщина.

4. в межскважинных ячейках эти параметры вычисляются методом интерполирования. Таким образом, получают сеточные карты параметров пласта.

5. функции Р(x,y,t_n) и S(x,y,t_n) от непрерывных аргументов заменяются на функции p_{i j} и s _{i j} от дискретных аргументов (i, j), где n – номер временного слоя. P_{i j n} =P(x _i, y _j, t _n)

		i,j+1
	i-1,j	i j	i+1,j
		i,j-1
					j ↑

i →

6.Дифференциальные уравнения (9)-(10) для каждой ячейки, кроме ячеек со скважинами, заменяются разностными уравнениями.

Таким образом, получают систему

N_х* N_у – N_с

алгебраических уравнений. Решив эту систему, находят значения давления и водонасыщенности для каждой ячейки для заданного момента времени t = t _n.

Затем для этого момента времени вычисляются дебиты жидкости, нефти, величина обводненности каждой скважины.

Далее все расчеты повторяются для следующего шага по времени t =t_n+∆t.

Построение разностных уравнений для давления. Дифференциальное уравнение (10) представляет собой уравнение баланса (сохранения) жидкости (нефть+вода). Поэтому для получения его разностного аналога для ячейки (i j) достаточно вычислить потоки через границы ячейки, затем их алгебраически просуммировать.

(14)

Здесь =2

/(+) (15)

Способ решения системы уравнений (14).

Решение при небольшом числе ячеек можно найти точно, а в общем случае - методом последовательных приближений, например, методом верхней релаксации

(18)

где ω=1,42

(k), (k^-1) - номера текущего и предыдущего приближений соответственно.

За нулевое приближение берется значение давления на предыдущем слое.