23.Точные методы решения задач рнм

К числу методов, дающих точ­ные решения задач разработки нефтяных месторождений, от­носится хорошо известный из курса математики метод разде­ления переменных (метод Фурье), методы функций комплекс­ного переменного, интегральных преобразований, получения автомодельных решений и др.

Методы функций комплексного переменного являются клас­сическими методами решения задач установившейся фильтра­ции несжимаемой жидкости в плоских пластах. Рассмотрим эти методы при установившемся притоке жидкости к источни­кам (скважинам).

1. Уравнение неразрывности массы жидкости, фильтрую­щейся в плоском пласте, имеет следующий вид: (90)

Подставляя в это уравнение формулу закона Дарси, (91)

получим уравнение Лапласа (92)

Введем потенциал фильтрации в видеФ = kp /.

В этом случае вместо уравнения (92) получим (93)

Введем комплексный потенциал (z) = Ф + i; z = x + iy. (94)

Входящая в выражение (94) функция  =  (x, y)  функ­ция линий тока. В теории плоского потенциала доказывается, что комплексный потенциал F(z) и функция линий тока удов­летворяют условиям Коши  Римана (95)

Таким образом, любая аналитическая функция комплексного переменного z = x+iy описывает некоторое плоское течение в пласте. Пусть, например, (96)

Полагая z = re^i, ( = arcig y/x) из (96) получим

(97)

отсюда

Из приведенных формул следует, что комплексный потенциал по формуле (96) выражает решение задачи установившейся фильтрации жидкости в неограниченном плоском пласте к единственному точечному источнику. Как видно из (98), дав­ление при r = 0 стремится k  ∞, а при r  ∞ оно также неогра­ниченно возрастает. Тем не менее, можно приближенно исполь­зовать это решение и для расчета распределения давления в плоском пласте с несколькими источниками конечного радиуса (скважинами), используя то обстоятельство, что уравнение Лапласа (90) линейно и сумма нескольких решений вида (98) есть тоже решение уравнения (90).

можно написать формулу (103)Дюпюи

При незначительных y/Следовательно, ln _c = ln (r_c /).

Подставляя приведенные значения ln _к и ln _c в формулу получим(104)

По формуле (104) можно определить дебит одной скважины из бесконечной цепочки скважин, расположенных в неограни­ченном пласте, при условии, что на некотором, достаточно большом расстоянии L от оси х давление равно р_к, а в сква­жинах малого радиуса r_с оно составляет р_с.

24. Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений

Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений — основ­ной аналитический метод определения количественной связи между дебитами скважин и давлениями на их забоях и на контуре питания пласта (нагнетания воды) в условиях жесткого водонапорного режима. Сущность метода состоит в замене пол­ного фильтрационного сопротивления реального потока жидко­стей сложной конфигурации несколькими эквивалентными (равнозначными) последовательными или параллельными филь­трационными сопротивлениями простейших (прямолинейно-па­раллельных, плоскорадиальных) потоков.

С помощью этого метода рассчитывают де­биты рядов (бата­рей) при заданных забойных давлениях или определяют забой­ные давления при заданных дебитах. При этом используют раз­личные модели пластов и процессов вытеснения нефти водой.

Метод основан на представлении сложного фильтрацион­ного поля пласта между батареями нагнетательных и добы­вающих скважин с помо­щью простейших фильтрационных по­токов. Анализируя результаты решений, определяют, что в пре­делах зоны вокруг скважины радиусом σ/π (σ —половина расстояния между двумя со­седними скважинами в ряду) по­ток жидкости в пласте плоскорадиальный. Поток жидкости ме­жду линиями расположения скважин может быть прямоли­нейно-параллельным или плоскоради­альным, как показано на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Схема расположения зон внутренних и внешних сопротивлений рядов скважин.

Форма залежей: а — полосообразная; б — кру­говая

Рассмотрим внутренние и внешние фильтраци­онные сопро­тивления рядов скважин. Под внут­ренним сопротив­лением i-го ряда понимают об­щее фильтрационное сопро­тивление, возникаю­щее при движении жидкости в пределах зон ра­диусом σ_i/π вокруг всех скважин этого ряда. Зна­чение этого сопротивления

(4.27)

где µ — динамическая вязкость жидкости;

k — эффективная проницаемость при фильтра­ции нефти или воды;

h — эффек­тивная толщина пласта;

r_{c i} — приведенный радиус скважин i-го ряда;

п_i — число скважин в i-м ряду.

Под внешним фильтрационным сопротив­ле­нием i-го ряда понимают сопротивление, возни­кающее при движении жидкости в части пласта между предыдущим (i—1) и рассматриваемым i рядами скважин. Внешнее фильтрацион­ное со­противление i-го ряда при параллельно-прямоли­нейном размещении батарей скважин

(4.28)

где L_i — расстояние от предыдущего до рас­сматриваемого i-го ряда;

A = 2σ_in_i — ширина полосы (длина ряда).

В случае расположения скважин по окружно­стям (круго­вая залежь):

(4.29)

Здесь R_{i – 1} — радиус предыдущего ряда;

R_i — радиус рассмат­риваемого ряда.

Формулу (6) для притока жидкости к скважине в полосообразной залежи запишем в виде

р_к–р_c=q [μL/(2аkh)+μln(а/(πr_c))/(2πkh)] (12)

Первое слагаемое характеризует фильтрацион­ное сопротивление при движение жидкости от контура до оси скважин (внешнее сопротивле­ние), второе- сопротивление при радиальном движении от кругового контура r_к=а/π до окруж­ности радиусом r_с ( внутреннее сопротивление)