- •Раздел 2. Элементы векторной алгебры
- •1. Определение вектора
- •2. Направление вектора. Коллинеарность векторов
- •Свойства коллинеарных векторов:
- •3. Абсолютная величина вектора
- •4. Равенство векторов
- •5. Линейные операции над векторами
- •5.1. Сложение векторов
- •Свойства сложения:
- •5.2. Вычитание векторов
- •5.3. Умножение вектора на действительное число
- •Свойства произведения вектора на число
- •6. Векторное пространство
- •7. Линейная зависимость векторов
- •Свойства линейно зависимых векторов:
- •8. Базис системы векторов и пространства
- •Свойства базиса системы векторов:
- •9. Координаты вектора в базисе
- •Свойства координат векторов:
- •Практикум 13. Векторы. Основные понятия. Линейные операции
- •2) Выполнить оставшиеся номера
9. Координаты вектора в базисе
Теорема 7.3.
Любой вектор пространства раскладывается по базису единственным образом:
. (7.10)
Определение 23.
Коэффициенты аx, аy, аz разложения вектора по базисным ортам называются координатами вектора в данном базисе.
.
Координаты есть проекции вектора на соответствующие оси координат.
Свойства координат векторов:
Пусть , , . Тогда
1.
2.
3. (7.11)
4. Условие коллинеарности векторов: векторы и , коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны:
. (7.12)
Пример 4. Выяснить, образуют ли векторы , , базис.
Решение. Система векторов образует базис, если она линейно независима, т.е. равенство справедливо только при .
. Значит, векторы образуют базис.
Практикум 13. Векторы. Основные понятия. Линейные операции
-
Задача 1 (Элементы векторной алгебры. С.7)
-
Задача 2 (ЭВА. С.7)
-
В треугольнике АВС сторона АВ точками M и N разделена на части: АМ=MN=NB. Найдите вектор , если , .
-
В треугольнике АВС сторона АМ – биссектриса угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найдите вектор , если , .
-
Пример 7 (ЭВА. С.9)
-
Пример 9 (ЭВА. С.11)
-
Пример 8 (ЭВА. С.10)
-
Найдите линейную комбинацию векторов , где , , .
-
Вычислите координаты линейной комбинации векторов , где , , .
-
Вычислите координаты вектора в базисе , где , , ,
-
Выясните, является ли система векторов линейно независимой , , .
-
Выясните, является ли система векторов линейно независимой , , .
-
Даны векторы , , в базисе . Докажите, что векторы образуют базис. Вычислите координаты вектора в базисе
-
Выясните, раскладывается ли вектор через векторы системы: , , .
-
Выясните, раскладывается ли вектор через векторы системы: , , .
Д/з: 1) Повторить теорему о коллинеарных векторах, теорему о компланарных векторах,
2) Выполнить оставшиеся номера