Свойства коллинеарных векторов:

1. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: Если (или ), то (или ).

2. Нулевой вектор одинаково направлен с любым вектором, .

3. Любые два коллинеарных вектора можно отложить на одной прямой.

Достаточно отложить векторы от одной точки.

4. На прямой можно указать всего два направления, следовательно, два вектора, отложенных на ней могут иметь либо одно и то же направление, либо противоположное.

Определение 4.

Векторы и называются противоположными.

Рассмотрим вектор . Отложим его от точки А.

Для вектора = противоположным называется вектор , =–.

Вектор, противоположный , это вектор , т.е. =–(–).

Для нулевого вектора противоположным является вектор , или =–.

Определение 5.

Ненулевые векторы и называются одинаково направленными (сонаправленными), если лучи АВ и CD одинаково направлены, обозначается символом :

.

Ненулевые векторы и называются противоположно направленными, если лучи АВ и CD противоположно направлены, обозначается символом :

.

3. Абсолютная величина вектора

Определение 6.

Модулем (длиной, абсолютной величиной) вектора называется длина отрезка АВ, обозначается , или АВ.

Длина нулевого вектора равна нулю: .

Определение 7.

Вектор, абсолютная величина которого равна единице, называется единичным.

Единичный вектор обозначается , .

4. Равенство векторов

Определение 8.

Два вектора и называются равными, если выполнены следующие условия:

1) они имеют одинаковое направление, ;

2) абсолютные величины их равны, ||=||.

Из определения следует, что два нулевых вектора всегда равны.

Равенство векторов обладает свойствами, аналогичными свойствам равенства чисел.

Свойства равенства векторов:

1. Рефлексивность: каждый вектор равен самому себе ;

2. Симметричность: .

3. Транзитивность: .

Равенство векторов является отношением эквивалентности.

5. Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на действительное число.

5.1. Сложение векторов

Определение 9 (Правило треугольника).

Суммой векторов и , отложенных последовательно, называется вектор , начало которого совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец – с концом второго.

,

(7.1)

Сумма векторов существует и определена однозначно.

Свойства сложения:

1.	С=В
2.	С=В, В=А
3.	С=А
4.	Коммутативность
5.	Ассоциативность

Определение 10 (Правило параллелограмма).

Суммой векторов и , отложенных от общего начала, называется вектор , задаваемый диагональю построенного на них, как на сторонах, параллелограмма, исходящей из их общего начала. Начало вектора суммы совпадает с началом слагаемых векторов, а конец – с противоположным концом диагонали параллелограмма.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух связных (фиксированных) векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Определение 11 (Правило многоугольника).

Суммой n векторов , отложенных последовательно, называется вектор, начало которого совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец – с концом последнего слагаемого вектора.