7. Линейная зависимость векторов

Определение 14.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 15.

Линейной комбинацией векторов называют вектор

, (7.6)

где – коэффициенты линейной комбинации.

Если , то комбинация называется тривиальной.

Определение 15*.

Линейной комбинацией векторов называют вектор

, (7.7)

где () – коэффициенты линейной комбинации.

Говорят также, что вектор линейно выражается через векторы .

Определение 16.

Три вектора пространства называются линейно независимыми, если они не компланарны, т.е. никакой из них нельзя линейно выразить через два других вектора.

Определение 16*.

Три ненулевых вектора называются линейно зависимыми, если существуют числа , не равные нулю одновременно, что их линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е. равенство

. (7.8)

Если равенство выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми.

Определение 16**.

Система n векторов называется линейно зависимой, если существуют числа , не равные нулю одновременно, что выполняется равенство

. (7.9)

Система n векторов называется линейно независимой, если равенство

выполняется только при .

Теорема 7.2 (Критерий линейной зависимости векторов)

Векторы (n>1) линейно зависимы, тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.

Свойства линейно зависимых векторов:

1. Система, состоящая из одного вектора, линейно независима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда по крайней мере один из ее векторов линейно выражается через остальные.

4. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть также линейно независима.

5. Если часть системы векторов линейно зависимa, то и вся система линейно зависима.

6. Ступенчатая система векторов линейно независима.

8. Базис системы векторов и пространства

Определение 17.

Подмножество системы векторов называется базисом системы векторов, если:

1. эта оно линейно независимо,

2. каждый вектор системы линейно выражается через векторы этого подмножества.

Свойства базиса системы векторов:

1. Векторы системы раскладываются по векторам базиса единственным образом.

2. Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

3. Все базисы системы векторов состоят из одного и того же числа векторов.

Определение 18.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе.

Определение 19.

Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы раскладываются по векторам другой системы и наоборот.

Ранги эквивалентных систем равны.

Вектор линейно выражается через векторы тогда и только тогда, когда ранг системы векторов равен рангу системы векторов ,.

Определение 20.

Базисом n-мерного пространства Rⁿ называется упорядоченная система любых n линейно независимых векторов.

Обозначается .

В дальнейшем будем рассматривать трехмерное пространство R³.

Определение 20*.

Базисом трехмерного пространства R³ называется упорядоченная тройка любых линейно независимых векторов. Обозначается .

Определение 21.

Базис называется прямоугольным (ортогональным), если базисные векторы попарно перпендикулярны.

Определение 22.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы:

1) попарно перпендикулярны;

2) их абсолютные величины равны единице.