- •От авторов
- •§ 1. Кинематика и динамика движений.
- •§ 2. Механические свойства упругих сред
- •2.1. Физические характеристики воздействия механических нагрузок на вещество и механические свойства деформируемых тел
- •2.2. Особенности механических свойств биотканей.
- •§ 3. Механические свойства биологических тканей
- •3.1. Механические свойства костной ткани
- •3.1.1. Компактное вещество костной ткани
- •3.1.2. Губчатое (спонгиозное) вещество костной ткани.
- •3.1.3. Функциональная адаптация кости.
- •3.2. Механические свойства хрящевой ткани (суставного хряща).
- •3.3. Механические свойства мягких биологических тканей.
- •3.3.1. Механические свойства сухожилий.
- •3.3.2. Механические свойства кожи.
- •3.3.3. Механические свойства ткани кровеносных сосудов.
- •§ 4. Особенности структуры и биомеханики мышечной ткани.
- •§ 5. Материалы к семинару по биомеханике
- •5.1. Контрольные вопросы.
- •5.2. Задачи.
- •Литература.
- •Антонов в.Ф. И др. Биофизика, м., Владос, 2000.
- •§ 1. Кинематика и динамика движений. 4
- •§ 2. Механические свойства упругих сред 10
- •§ 3. Механические свойства биологических тканей 22
- •§ 4. Особенности структуры и биомеханики мышечной ткани. 42
- •§ 5. Материалы к семинару по биомеханике 50
- •Элементы биомеханики
§ 2. Механические свойства упругих сред
2.1. Физические характеристики воздействия механических нагрузок на вещество и механические свойства деформируемых тел
Механические свойства тел проявляются в их реакции на действие внешних сил (нагрузок). Изменения формы и/или размеров образца под действием внешних сил называют деформацией.
Различают упругие и пластические деформации. Деформация называется упругой, если после снятия нагрузки тело полностью восстанавливает свою форму и размеры, и пластичной (неупругой), если размеры тела восстанавливаются не полностью, т.е. имеет место остаточная деформация. Соответственно упругость определяют как способность деформируемого тела восстанавливать исходные размеры и форму после снятия нагрузки; пластичность – как способность сохранять остаточные деформации после снятия нагрузки.
На рис. 6 показаны основные виды деформации твердых тел; направление внешних сил (нагрузок) указано стрелками; пунктир соответствует деформированному образцу.
Разнообразные виды деформации твëрдого тела могут быть сведены к двум основным: к деформации растяжения (или сжатия) и деформации сдвига.
Определим основные величины, характеризующие поведение деформируемого тела.
Количественной мерой деформации является абсолютная, либо относительная деформация.
Например, если при одноосном растяжении тела его длина возросла с l0 до l, то величина l = l – l0 (м) называется абсолютной деформацией (удлинением) и измеряется в единицах длины. Относительная деформация – величина безразмерная, она определяется как отношение абсолютной деформации к первоначальной длине образца и в этом случае обозначается ε:
, в процентах . (1)
При деформации в образце возникают упругие силы Fупр, препятствующие внешней нагрузке и дальнейшей его деформации.
Еще в XVII веке Гук, исследуя деформации тел при одноосном растяжении, установил закон, согласно которому в пределах упругой деформации величина упругой силы Fупр, возникающей в образце, прямо пропорциональна его абсолютной деформации
Fупр = k l (2)
Коэффициент пропорциональности k зависит как от упругих свойств деформируемого образца, так и от его геометрических размеров, измеряется в H/м и называется жесткостью тела (образца).
Под действием внешней силы Fвн тело деформируется на величину l, при которой возникающие в нем упругие силы, направленные против Fвн, уравновешивают действие внешней силы: Fупр = Fвн = F (в векторном виде ).
Наличие в деформируемом образце упругих сил Fупр, распределенных по всему объему, обуславливает возникновение в этом образце механических напряжений , зависящих от площади S поперечного (т.е. перпендикулярного действующей на образец силе) сечения образца:
. (2а)
Теперь закон Гука можно выразить в другой форме: при упругих деформациях механическое напряжение , возникающее в образце, прямо пропорционально его относительной деформации :
= Е (2б)
Коэффициент пропорциональности Е зависит только от упругих свойств материала, из которого изготовлен образец, и называется модулем упругости (модулем Юнга). В СИ он измеряется в Паскалях (1Па = 1Н/м2), не зависит от геометрических размеров образца и определяет способность материала сопротивляться действию внешних сил.
Сопоставляя формулы (2) и (2б), получим выражение, связывающее коэффициент жесткости k образца с его размерами (l0 и S) и модулем упругости Е:
(3)
Видим, что жесткость образца k прямо пропорциональна модулю упругости Е, площади поперечного сечения образца S и обратно пропорциональна его длине l0, т.е. чем короче и толще образец, тем он жëстче.
Однако образцы сложной формы часто имеют не одинаковые поперечные сечения вдоль направления действия силы, и тогда пользуются понятием жесткости данного сечения, которую обозначают D:
D = E S, (4)
Она измеряется в единицах силы (Н), в отличие от жесткости образца k, которая измеряется в Н/м.1
В целом зависимость между механическим напряжением в образце и его относительной деформацией достаточно сложная, зависит от свойств материала и не всегда подчиняется закону Гука (2б).
На рис. 7 представлена диаграмма растяжения – зависимость механического напряжения в образце от его относительной деформации . На участке ОА зависимость между и прямолинейная, что соответствует закону Гука (2б). При этом угол наклона определяется модулем упругости Е материала образца: tg = E.
На участке ОАВ деформация является упругой, но зависимость между и на участке АВ становится нелинейной, поэтому точке А соответствует предел пропорциональности проп., а точке В – предел упругости упр., поскольку при > упр. деформация тела становится уже неупругой (пластичной). Закон Гука (2б) выполняется только на линейном участке ОА, т.е. при ≤ проп .
На участке СК относительное удлинение образца растëт при почти постоянном механическом напряжении, поэтому его называют участком текучести, а напряжение σт, с которого начинается этот участок, – пределом текучести.
На участке КД образец опять оказывает сопротивление деформации (т.е. увеличивается с увеличением ) и точке Д соответствует предел прочности прочн – это величина механического напряжения в образце, после которого он начинает необратимо разрушаться, так что на участке ДЕ относительная деформация растет даже при снижении механического напряжения.
Еще одной важной характеристикой деформируемого тела является коэффициент Пуассона , который связывает относительную продольную и поперечную 1 деформации образца. Эти деформации всегда имеют разные знаки. Например, при растяжении образца > 0, а 1 < 0, так как d < 0 (Рис.8), при сжатии – наоборот: < 0, 1 > 0, а коэффициент Пуассона μ всегда положителен.
Коэффициент Пуассона зависит только от свойств материала, из которого изготовлен образец, и определяет относительное изменение его объема V при деформации:
(6)
Если коэффициент Пуассона = 0,5, то V = 0, т.е. вещество несжимаемо.
Обратимся теперь к деформации сдвига (рис. 6д), которая возникает при действии на тело параллельных друг другу, но противоположно направленных касательных сил. Количественной мерой этой деформации является угол сдвига . По аналогии с законом Гука (2а), касательное (тангенциальное) механическое напряжение , действующее в образце, прямо пропорционально углу сдвига :
= G , (7)
Модуль сдвига G зависит только от материала образца и связан с модулем упругости Е этого материала соотношением:
, (8)
где – коэффициент Пуассона, определенный ранее.
Важнейшее свойство деформируемого тела – прочность – определяет его способность сопротивляться разрушению при действии внешних сил. Для характеристики прочности тела используют определëнный ранее предел прочности прочн материала (величина которого зависит от вида деформации), либо указывают разрушающее напряжение – отношение величины разрушающей нагрузки к площади поперечного сечения образца в месте разрушения.
Твëрдость характеризует сопротивление материала проникновению в него более твердого тела (напр., при вдавливании). Количественно твëрдость определяется как отношение нагрузки F, действующей на вдавливаемое тело (индентор), к площади S поверхности отпечатка, образовавшегося в материале, и измеряется в СИ в H/м2. Методы измерения твëрдости отличаются формой и материалом вдавливаемого тела (индентора). Например, при определении твердости по методу Бринелля в образец вдавливается стальной шарик, а в методе Виккерса – алмазная пирамидка квадратного сечения и т.д. Обозначения твëрдости: НB (или НВ) – твердость по Бринеллю, НV (или HV) – твердость по Виккерсу и т.д.
На твëрдые тела обычно действуют сосредоточенные в точке или распределенные по определëнной поверхности силы (нагрузки). Различают также статические и динамические нагрузки. Первые длительно нагружают тело и с течением времени не изменяют своей величины, а вторые быстро изменяются во времени по величине и даже по знаку. Примерами динамических нагрузок являются ударные и повторно-переменные (циклические) нагрузки.