Примеры решение задач

I. Шар и сплошной цилиндр имеют одинаковую массу (5 кг каждый) и катятся с одинаковой скоростью 10 м/с. найти отношение их кинетических энергий.

Дано: m₁=m₂ = m; v₁=v₂ = v

Найти: E_к1 / Е_к2

Решение: по условию шар и сплошной цилиндр катятся, т.е. происходит поступательное движение их центров масс и одновременно вращательное движение этих тел относительно их собственных осей вращения. Кинетическая энергия катящегося шара равна:

а цилиндра: Ек₁= m v² / 2 + I₁ ω₁² / 2,

Ек₂ = m v² / 2 + I₁ ω₂² / 2,

где I₁, I₂ и ω₁ , ω₂ - моменты инерции и угловые скорости соответственно шара и цилиндра.

Момент инерции шара I₁ = 0,4 m r₁² , а цилиндра I₂ = 0,5 m г₂² , где r₁ и г₂ -радиусы шара и цилиндра. Так как линейная и угловая скорость связаны соотношением ω = v/r, то выражение для E_K1 и Е_k2 приобретает следующий вид:

E_K1 = m v² / 2 + 0,4 m r₁² ω ² / r₁² = 0,7 m v²

Е_к2 = m v² / 2 + 0,5 m r₂² ω ² / г₂² = m v²

откуда Е_К1/ Е_к2 = 0,7

Ответ: Е_к1 / Е_к2 = 0,7

2. Кислород массой 320 г. нагревают при постоянном давлении от 300 до 310 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m = 320 г. = 0,32 кг; Т₁ = 300 К; Т₂ = 310 К; М = 32 · 10^-3 кг/моль Найти: A, Q, ∆U

Решение: считаем газ идеальным. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении, находим, используя 1 начало термодинамики для изобарного процесса:

где молярные теплоемкости при постоянном объеме C_v и при постоянном давлении С_р равны:

C_v = iR/2; C_p = (i + 2)R/2

Молекулы кислорода двухатомные, поэтому для них число степеней свободы i = 5. С учетом записанных выражений для молекулярных теплоемкостей, выражение для Q принимает вид:

Q = m(i + 2)R(T₂-T₁)/2M (1)

Изменение внутренней энергии:

∆U=(m/M)C_v (T₂-T₁)=(m/M)(i/2) R(T₂-T,) (2)

Работа расширения газа при изобарном процессе А = Р∆V так как согласно уравнению Клайперона-Менделеева: Р∆V= (m / M) R ∆T, то получаем:

А = Р∆V= (m/М)R∆T ={m/М)R(Т₂-Т₁) (3)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (3), имеем:

Q = [0,32 (5+2) 8,31 (310 - 300] / (2 • 32 • 10^-3) = 2910 Дж

∆U=[0,32 • 5 • 8,3 1 (310 - 300)] / (2 • 32 – 10^-3) = 2080 Дж

А = [0,32 - 5 • 8,3 1 (310 - 300)] / 32 – 10^-3 = 830 Дж

Ответ: Q = 2910 Дж; ∆U= 2080 Дж; А = 830 Дж

3. Давление света (длина волны 0,55 мкм) нормально падающего на зеркальную поверхность равно 9 мкПа. Определить концентрацию фотонов вблизи поверхности.

Дано: λ = 0,55 • 10^-6 Па, ρ=1

Найти: n

Решение: давление света при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения р:

p = I(l+ρ)/c = w (1+ρ) (1)

где I - интенсивность излучения, с - скорость света в вакууме, w = I / с - объемная плотность энергии излучения.

Энергия одного фотона ε = hс / λ, где h - постоянная Планка. Объемная плотность энергии излучения:

w= nhc/ λ (2)

где n – концентрация фотонов.

Подставляем (2) в (1) получаем:

p = nhc(l+ρ)/ λ (3)

откуда: n= λP/hc(1+ρ)

n = (0,55 • 10 ^-6 · 9 · 10^-6) / [(6,62 • 10^-34 • 3 • 10⁸ (1 + 1)] = 2,49 • 10¹³ м^--3

Ответ: n = 2,49 • 10¹³ м^-3

4. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0,257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разновидности потенциалов, равной 1,5В.

Дано: λ_к = 0,257 мкм; U= 1,5 В

Найти: λ_к

Решение: Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

где h - постоянная Планка; с - скорость света в вакууме; λ - длина волны света; А -работа выхода электронов из металла; Т_тах - максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Красная граница фотоэффекта определяется из условия равенства энергии фотона е = hc / λ работе выхода электронов A, т.е.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов может быть определена через задерживающую разность потенциалов U:

T_max=eU

где е - элементарный заряд (заряд электрона).

Подставляя выражение (2) и (3) в (1), получим

(4)

Из уравнения (4) найдем длину волны света:

(5)

Подставляя в (5) числовые значения, получим:

Ответ: λ = 0,196 мкм

Задание № 7. В это задание включены задачи, решение которых даст возможность студенту уяснить принцип корпускулярно-волнового дуализма, который сыграл важнейшую роль для построения новой физической теории - квантовой механики. В основе квантовой механики лежат гипотеза де Бройля, соотношения неопределенностей Гейзенберга. Фундаментом квантовой механики является уравнение Шредингера, которое играет такую же роль как и уравнения Ньютона в классической механике. Законы квантовой механики носят вероятностный характер.