- •Системы дифференциальных уравнений
- •1. Основные понятия
- •2. Интегрирование нормальных систем
- •3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Ипользование пакета mathcad при решении систем ду
- •Задания для лабораторной работы
- •Задания для лабораторной работы с ипользованием mathcad
- •Список литературы
3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y1, y2 и y3:
(5)
где все коэффициенты аi,j (i, j = 1,2,3) – постоянные. Будем искать частное решение системы (5) в виде
y1 = , y2 = , y3 = (6)
где а, β, γ, k – постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6) удовлетворяли системе (5).
Подставив эти функции в систему (5) и сократив на множитель , получим:
или
(7)
Систему (7) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными а, β, γ. Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
(8)
Уравнение (8) называется характеристическим уравнением, системы (5). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: k1, k2, k3. Для каждого корня ki (i = 1,2,3) напишем систему (7) и определим коэффициенты аi, βi, γi (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:
для корня k1 частное решение системы (5): y1(1) = , y2(1) = =, y3(1) = ;
для корня k2 – y1(2) = , y2(2) = , y3(2) = =;
для корня k3 – y1(3) = , y2(3) = , y3(3) = =.
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (5) записывается в виде
y1(1) =c1, y2(1) = c2, y3(1) = c3,
y1(2) = c1, y2(2) = c2, y3(2) = c3, (9)
y1(3) = c1, y2(3) = c2 , y3(3) = c3.
Пример 3. Решить систему уравнений .
Решение. Характеристическое уравнение данной системы имеет вид: , или 1 - 2k + k2 - 4 = 0, k2 - 2k - 3 = =0, k1 = -1, k2 = 3. Частные решения данной системы ищем в виде: y1(1) =, y2(1) = и y1(2) = , y2(2) = . Найдем αi и β1 (i = 1, 2). При k1 = -1 система (7) имеет вид: т.е. Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим α1 = =1, тогда β1 = 2. Получаем частные решения y1(1) =, y2(1) = . При k2 = 3 система (7) имеет вид: Положим α2 = 1, тогда β2 = -2. Значит, корню k2 = 3 соответствуют частные решения: y1(2) = , y2(2) = . Общее решение исходной системы, согласно формуле (9), запишется в виде y1 =c1+c2, y2 = 2c1 -2c2.
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: k1 = а + ib, k2 = а - - ib, k3. Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации, применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида еах·cos bx, eax·sin bx. Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k2 = a - ib не даст новых линейно независимых действительных решений.
Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности т (т = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:
а) если т = 2, то у1 = (А + Вх)еkх, у2 = (С + Dx)ekx ,у3 = (Е + + Fx)ekx;
б) если т = 3, то У1 = (А + Вх + Сх2)еkх, у2 = (D + Ex + +Fx2)ekx, уз = (G + Hx + Nx2)ekx.
Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А, В, С, ..., N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т линейно независимых частных решений системы (5).
Пример 4. Решить систему уравнений
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение ,
(1 - k)(2 - 2k - k + k2 - 1) - (-2 + k + 1) = 0, k1 = 2, k2 = k3 = 1. Корню k1 = 2 соответствует система (см. (7)): или . Полагая γ1 = 1, находим α1 = 1. Получаем одно частное решение исходной системы: y1(1) = , y2(1) = 0, y3(1) = .
Двукратному корню k = k2 = k3 = 1 (m = 2) соответствует решение вида y1(2,3)=(А + Вх)ех, y2(2,3)=(С + Dх)ех, y3(2,3)=(E + +Fх)ех. Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы или, после сокращения на ех ≠ 0 и группировки,
Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
Выразим все коэффициенты через два из них (m = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F = B. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем D = B. Из четвертого уравнения находим E = A - D, т.е. E = A - B. Из третьего уравнения: C = E - B, C = A - 2 B. Коэффициенты A и B - произвольные.
Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = 0, E = 1, F = 0.
Полагая А = 0, В = 1, находим: С = -2, D = 1, E = -1, F = 1.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню k = 1: y1(2) = , y2(2) = , y3(2) = и y1(3) = , y2(3) = , y3(3) = . Записываем общее решение исходной системы:
y1 = c1+c2 + с3х,
y2 = c2 +c3(х - 2),
y3 = c1+c2 + с3(х - 1).