Линейные и угловые перемещения при плоском изгибе

В ряде случаев работающие на изгиб элементы машиностроительных и строительных конструкций должны быть рассчитаны не только на проч­ность но и на жесткость. Под действием внешних нагрузок сечения балки перемещаются в вертикальном направлении и поворачиваются вокруг ней­тральной оси. В силу малости деформации (деформации упругие) прини­мается, что сечения перемещаются перпендикулярно оси балки и остаются плоскими после поворота. Вертикальные перемещения сечений балки на­зывают прогибами у, поворот сечений - углом поворота . Искривленная ось балки после деформации называется упругой линией балки (рис. 4.).

Упругую линию балки можно рассматривать как график некоторой функции, определяемой характером нагружения балки, ее размерами и ма­ териалом.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой балки постоян­ного сечения записывается в следующем виде:

(9)

Здесь M_z - уравнение изгибающих моментов, как аналитическое выра­жение закона изменения изгибающего момента по длине балки.

Для определения углов поворота и прогибов необходимо проинтегри­ровать левую и правую части уравнения (9):

Рис. 4. К определению прогибов, углов поворота и упругой линии балки при плоском изгибе.

- уравнение углов поворота (10)

Интегрируем второй раз:

- уравнение упругой линии балки. (11)

Постоянные интегрирования С и D определяются из граничных условий

^{на балке. Отметим, что - представляют собой угол}

^{поворота и прогиб С0 в начале координат.}

Порядок интегрирования дифференциального уравнения показан на примере балки на рис. 4. При составлении уравнения изгибающего момен­та и порядка интегрирования необходимо выполнение следующих усло­вий, предложенных Бубновым-Клебшем::

1. Отсчет абсцисс z производить от одного начала координат.

2. Сосредоточенный момент должен иметь множитель-скобку M(z-c)⁰, в нулевой степени; где с - расстояние от начала координат до сечения, где приложен момент.

3. Момент от сосредоточенной нагрузки должен иметь множитель-скобку (z-d)¹, где d - расстояние от начала координат до сечения, где приложе­на сосредоточенная сила.

4. Распределенная нагрузка начавшись на балке, не должна прерываться. Ее нужно продлить до конца балки, а добавленный участок нагрузки компенсировать нагрузкой, направленной в противоположную сторону от добавленной.

5. Интегрирование необходимо вести без раскрытия скобок.

6. При соблюдении вышеуказанных условий при интегрировании диффе­ренциального уравнения определяется только две постоянных интегри­рования.

Следуя указанным условиям дифференциальное уравнение, для рас­сматриваемой балки (рис.4) примет вид:

В соответствии с формулой (9) приближенное дифференциальное урав­нение упругой линии балки (рис. 4) примет вид:

(12)

Проинтегрировав уравнение (12) один раз получим уравнение углов поворота:

(13)

Проинтегрировав уравнение (12) дважды получим уравнение прогибов:

(14)

Произвольные интегрирования С и D определяются из граничных усло­вий на балке:

1. ; отсюда D=0, так как - прогиб в начале координат.

^{2. отсюда определяем C: - угол в начале координат.}

Значение С подставляется в уравнения (13) и (14), затем вычисляются значения прогибов у и углов поворота по длине балки.

Условие жесткости балки по линейным перемещениям имеет вид:

(15)

где у_mах - максимальный прогиб; к_у - коэффициент, определяемый с эпюры прогибов у; [у] - допускаемый прогиб балки, обычно рекомендует­ся [у]=(0,001…0,002)L, где L-длина балки.

Условие жесткости по угловым перемещениям имеет вид:

(16)

где - максимальный угол поворота сечений балки; - коэффици­ент, определяемый с эпюры углов поворота; - допускаемый угол пово­рота балки.

Если прочность балки обеспечена, а условие жесткости не выполняется, то задача решается из условия жесткости.

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНОЙ

(ПЕРЕРЕЗЫВАЮЩЕЙ) СИЛЫ Q_y И ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА М_х

ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ.

РА СЧЕТ НА ПРО ЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛКИ ПРИ

ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

_{ПРИМЕР 1}

Задается: схема нагружения балки (рис. 5), длины участков балки: а, с=3а, распределенная нагрузка интенсивностью q, сосредоточенная сила F, изгибающий момент M=2qa².

Требуется: построить эпюры перерезывающей силы Q_y и изгибающего момента М_х при заданной внешней нагрузке и схеме нагружения балки.

^{Рис. 5. Схема нагружения балки.}

_{РЕШЕНИЕ}

1. Определение опорных реакций (рис. 5).

Для определения опорных реакций составляются уравнения равновесия балки:

откуда

откуда

Впоследствии нет необходимости составлять уравнение равновесия при плоском изгибе, так как при указанной схеме нагружения со­ставляющая Н_А всегда равна нулю.

Проверка:

^{2. Разбивка балки на участки.}

Для построения эпюры поперечной силы Q_y и изгибающих моментов М_х необходимо рассмотреть два участка с координатами z₁ и z₂ (рис. 5).

3. Определение законов изменения поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_х по участкам балки. Начало рассматриваемых участков необ­ходимо обозначить точкой, текущее значение z₁ стрелкой. Начало после­ дующего участка начинается на границе предыдущего участка.

3.1 Первый участок (рис. 6).

Рис. 6. К определению Q_yi и M_xi на первом участке.

Координата z₁ для первого участка изменяется в пределах . Уравнения равновесия для отсеченной (левой) части балки имеют вид:

Перерезывающая сила на границах участка принимает значения:

При z₁=0; при

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

При z₁=0; при

В координатах M_x1-z₁ полненное выражение изгибающего момента M_x1 описывает кривую второго порядка. Определим вьшуклость кривой:

следовательно кривая M_x1 = выпукла вверх.

Условие экстремума кривой M_x1 =

Следовательно, функция M_x1 = имеет экстремум за границами первого участка при z_1экс =

3.2. Второй участок (рис. 7).

Рис. 7. К определению Q_y2 и М^ на втором участке.

На втором участке координата z₂ изменяется в пределах 0 < z₂ < с.

Уравнения равновесия для отсеченной (правой) части балки имеют вид:

На втором участке перерезывающая сила постоянна по длине участка и равна

Изгибающий момент на границах участка принимает значения:

при z₂=0; при

По результатам вычислений строятся эпюры поперечной силы Q_y и из­гибающего момента М_х (рис. 8).

4. Проверка правильности построения эпюр Q_y и М_х. В соответствии с правилами контроля построения:

- на участке АС, где действует распределенная нагрузка q, эпюра Q_y -наклонная прямая, а эпюра М_х - кривая второго порядка;

- на участке СВ, где отсутствует распределенная нагрузка q, эпюра Q_y -параллельна оси абсцисс z, а эпюра М_х - наклонная кривая;

- на участках АС и СВ, где Q_y отрицательна, эпюра М_х убывает;

^- в сечениях А, С и В, где приложены внешние сосредоточенные силы ^{и на эпюре Qy имеют место «скачки» на величины этих сил RA, F и RB;}

- в сечении А, где приложен внешний сосредоточенный момент М = qa², на эпюре М_х должен быть «скачок» на величину момента М.

Рис. 8. Расчетная схема балки, эпюры поперечной силы Q_y

и изгибающего момента М_х.