- •Математика
- •Часть III. Элементы теории вероятностей
- •280202 «Инженерная защита окружающей среды» и 080505 «Управление персоналом»
- •Зав. Кафедрой, д-р физ.-мат. Н., профессор __________ к. П. Арефьев Аннотация
- •1. Цели и задачи учебной дисциплины
- •2. Содержание теоретического раздела дисциплины
- •Тема 1. Элементы комбинаторики
- •Тема 2. Элементы теории вероятностей
- •Содержание практического раздела дисциплины
- •3.1. Тематика практических занятий
- •4. Контрольные работы
- •4.1. Общие методические указания
- •4.2. Методические указания по выполнению контрольной работы № 5
- •1. Элементы комбинаторики
- •2. Случайные события, их классификация и действия над ними
- •3. Задачи на классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность
- •4. Вычисление вероятностей сложных событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
- •5. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •6. Повторение опытов
- •Общая теорема о повторении опытов
- •4.3. Варианты заданий для контрольной работы № 5 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 6
- •1. Случайные величины и их законы распределения
- •Ряд распределения
- •Функция распределения
- •Плотность распределение
- •2. Числовые характеристики случайных величин
- •3. Некоторые законы распределения случайных величин Равномерное распределение
- •Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона
- •Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности
- •4. Закон больших чисел
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •4.5. Варианты заданий для контрольной работы № 6 Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •5.1. Литература обязательная
- •Математика
- •Часть III. Элементы теории вероятностей
- •Светлана Владимировна Рожкова
- •Рецензент: к. П. Арефьев, д. Ф.-м. Н., профессор каф. Вм енмф
3. Задачи на классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность
Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события.
Если, в частности, множество состоит из равновозможных элементарных событий, то вероятность
,
где – число благоприятных исходов , – число всех всевозможных исходов (классическое определение вероятности).
Пример 1.
В ящике 5 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 5. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 5.
Решение.
Так как номер шара не превышает 5, то число случаев, благоприятных событию , равно числу всех случаев . . – событие достоверное.
Пример 2.
Бросают две игральные кости. Какое событие более вероятно: сумма очков на выпавших гранях равна 11 или сумма очков на выпавших гранях равна 4?
Решение.
Поставим в соответствие исходу эксперимента упорядоченную пару чисел , где – число очков выпавших на первой кости, а – на второй.
Пространство всех элементарных событий состоит из множества пар , где и принимают значения от 1 до 6. Число таких пар 36. Событию , состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна 11, благоприятны два элементарных события и . Событию , состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях равна 4, благоприятны три элементарных события, которым соответствуют , , .
;
и, следовательно, событие более вероятно.
Пример 3.
Из 15 строительных рабочих 10 штукатуров, а 5 – маляры. Наудачу отбирается бригада 5 рабочих. Какова вероятность того, что среди них будет 3 маляра и 2 штукатура?
Решение.
Пространство элементарных событий состоит из различных выборок по 5 из 15. Число таких выборок равно . Благоприятным событиям соответствуют выборки, содержащие трех маляров и двух штукатуров.
Трех маляров из пяти можно выбрать способами, а двух штукатуров из десяти . Следовательно, число выборок, соответствующих благоприятным событиям, равно .
Таким образом .
При классическом определении вероятности не всегда можно определить числа и для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно воспользоваться формулой не удается.
Например, пусть линия электропередач, соединяющая пункты и , в результате бури оборвались. Какова вероятность того, что обрыв произошел на участке, заключенном между пунктами и , принадлежащем отрезку ? Множество элементарных событий в данном случае бесконечно, так как обрыв возможен в любой точке . При этом естественно предполагать, что вероятность обрыва на любом участке пропорциональна длине этого участка. Так как вероятность обрыва на всем равна 1, вероятность обрыва на выразится
.
Геометрическое определение вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.)
Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через , то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область часть области , равна
Пример 3.
Наудачу выбираются два действительных числа , . Найти вероятность того, что .
Решение.
Поставим в соответствие паре чисел и точку на плоскости .
Пространство элементарных выборок будет квадрат, двумя сторонами которого являются единичные отрезки осей координат.
Фигура, множество точек которой соответствует исходам, благоприятным событию , ограничена графиками функций , , . Ее площадь , а площадь квадрата равна единице.
.