4.2. Методические указания по выполнению контрольной работы № 5

1. Элементы комбинаторики

Рассмотрим совокупность различных элементов . Произвольную упорядоченную выборку из этих элементов будем называть соединением. Например, при бросании монет 5 раз выпадение герба и решки могут дать соединение ГРГРГ.

Размещениями из элементов по называются соединения, каждое из которых содержит ровно различных элементов, выбранных из данных элементов и которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов. Обозначают и вычисляют, учитывая, что , по следующей формуле

.

Размещения, составленные из элементов по и различающиеся лишь порядком элементов называются перестановками

.

Сочетаниями из элементов по называются такие соединения, каждое из которых содержит ровно элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом

.

Бином Ньютона. Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по формуле

Коэффициенты называются биномиальными.

2. Случайные события, их классификация и действия над ними

Под испытанием будем понимать реализацию комплекса условий. Эту реализацию называют также опытом. Классическим примером испытания в теории вероятностей является извлечение шара из урны, содержащей большое число шаров.

Явление, возникшее в результате испытания, называется исходом испытания, или событием. События обозначаются буквами .

События бывают трех типов:

1. Одни из них неизбежно возникают при каждом испытании данного вида. Это достоверные события .

2. Другие, наоборот, никогда не появляются. Это невозможные события .

3. События третьего типа характеризуются тем, что они в данном испытании могут произойти, а могут и не произойти. В каких случаях они произойдут, а в каких нет – заранее сказать нельзя. Такие события называются случайными.

События бывают простые и сложные. Простое событие не разлагается на другие.

Сложные события представляют собой комбинации простых событий. Если наступление события обязательно влечет за собой наступление события , то событие является сложным.

События бывают совместными и несовместными. Два или более событий называются совместными, если они могут одновременно наступить при осуществлении одного испытания. Иными словами, это события, которые содержат одни и те же простые события. Например, событие состоит из событий ; событие – из , то события и будут совместными, поскольку в каждое из них входит событие .

Несовместными называют такие события, которые не могут наступить одновременно при одном опыте, т.е. они не содержат ни одного общего события. Если событие состоит из событий ; а событие – из таких, что ни одно из событий в не совпадает с событиями из , то события и – несовместные.

Назовем суммой событий и такое событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из этих событий ( или ). Определение суммы распространяется на любое число слагаемых.

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и будем называть произведением событий и и обозначать или .

Событие, которое наступает тогда и только тогда, когда событие не наступает называется противоположным событию и обозначается . Из определения следует, что два события противоположны тогда и только тогда, когда они несовместимы: сумма их образует вcе выборочное пространство, т. е.

.

Разностью двух событий (или ) называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и не наступает

Графическая интерпретация соотношений между событиями:

Полной группой событий называется совокупность событий такая, что в результате опыта наступит одно и только одно из этих событий.

Пример 1.

Доказать, что .

Решение.

Пусть – исход опыта, благоприятствующий наступлению , следовательно благоприятен наступлению и и , следовательно благоприятствует наступлению хотя бы одного события и и и обязательно благоприятствует , но тогда благоприятствует наступлению события .

Аналогично, пусть – благоприятствует наступлению , тогда благоприятствует хотя бы одному из событий и , следовательно, благоприятствует и хотя бы одному из и , тогда благоприятствует .

Итак, множество исходов опыта, благоприятствующих наступлению событий и , совпадает, следовательно, .