§ 5. Разложение многочленов на

НЕПРИВОДИМЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

Пусть f(x) P[x], степень f(x) ≥ 1, очевидно, что a │ f(x), aP, a ≠ 0.

Определение. Многочлен f(x) называется приводимым над полем Р, если в P[x] существуют делители f(x), степени которых больше нуля, и ≠ cm.f, т.е.: f(x)=f₁(x)f₂(x), причём deg f₂ <deg f, deg f₁<deg f .

Многочлен f(x) называется неприводимым над полем Р в противном случае, т.е. один из многочленов f₁(x) или f₂(x) нулевой степени, если f(x)=f₁(x)f₂(x).

Замечание. Неприводимость многочлена f(x) P[x] зависит от поля, над которым он рассматривается, и есть в этом смысле понятие относительное.

Пример: Многочлен x² +1 над полем R неприводим, но над полем C он приводим.

Действительно: x²+1=(x-i)(x+i), т.е. приводим над C.

Упражнение. Доказать, что x²-2 неприводим над полем Q, а x²+1 неприводим над полем R.

Простейшие свойства неприводимых многочленов:

1) Всякий многочлен первой степени неприводим (это следует из определения)

f(x)=f₁(x)f₂(x), deg f(x)=1 deg f₁(x)=0 или 1, deg f₂(x)=1 или 0;

2) Если f(x) неприводим над полем Р, то аf(x), где aP, a ≠ 0, тоже неприводим над полем Р;

3) Если f(x) неприводим над полем Р и g(x) P[x] — некоторый многочлен над P , то ( f(x), g(x) )=1 либо f(x) │ g(x).

◄ Рассмотрим НОД многочленов (f(x), g(x))=d(x).Значит d(x) │ g(x) и d(x) │ f(x)  d(x) равен 1, т.е. (f(x), g(x))=1

или , т.е. f(x) / g(x).►

4) Если произведение многочленов f(x)g(x) делится на неприводимый многочлен h(x) , то хотя бы один из множителей f(x) или g(x) делится на h(x) ◄ Пусть h(x) ∤ f(x)=> по свойству 3 (h(x),f(x))=1 и , ибо h(x) │ f(x)g(x) и h(x) │ g(x)h(x).►!

Теорема 1 (о разложении многочлена на неприводимые множители). Всякий многочлен f(x)P[x] степени ≥1 можно представить в виде

произведения неприводимых над P многочленов. Разложение многочлена на неприводимые множители определено однозначно с точностью до многочлена нулевой степени и порядка следования сомножителей, то есть

если имеется два разложения f(x) на неприводимые множители:

f(x)= φ₁(x)… φ _S(x) = ψ₁(x)… ψ _k(x) , то s=k и при подходящей нумерации множителей : ψ_i =a_iφ_i i = 1,…,s 0 ≠a_iP.

◄Сначала докажем существование:

Если f(x) — неприводим, то в разложении будет один множитель (всё ясно).

Если f(x) приводим, то он представляется в виде f(x) = f₁(x)f ₂(x). Если f₁(x) и f ₂(x) — неприводимые, то существование есть.

Если f₁(x) или f ₂(x) приводим, то с ним поступаем аналогично, как с f(x) и получаем дальше разложение f(x). Этот процесс на каком-то месте оборвётся, так как степени многочленов, которые мы получаем, всё время убывают. Это и доказывает первую часть теоремы.

Докажем вторую часть теоремы — однозначность.

Доказательство будем проводить индукцией по степени f(x). Если степень f(x) равна 1, то всё сводится к свойству 1.Утверждение считаем верным, если степень f(x) < n.Если f(x) неприводим, то доказывать нечего.

Если f(x) приводим, то возьмём разложение:

f(x)= φ₁(x)… φ _S(x) = ψ₁(x)… ψ _k(x).

Очевидно, что φ₁ делит произведение

φ₁ | ψ₁(x)… ψ _k(x).

Следовательно, по свойству 4 φ₁ | ψ_i => по свойству 2 ψ_i = aφ₁.

После, может быть, перенумерации ψ_i можно считать ψ₁ и Ψ₁ =a₁φ₁.

φ₁(x)… φ _S(x) = ψ₁(x)… ψ _k(x)

Сократим обе части равенства на ₁. Получим

φ ₂(x)… φ _S(x) = ψ₂(x)… ψ _k(x) (1)

Обе части равенства (1) представляет собой многочлен степени меньше n. А для многочленов степени меньше n мы имеем индуктивное предположение, из которого следует, что s-1 = k-1 и Ψ_i =a_iφ_i i=2, …,k после, может быть, перенумерации.►

Замечание1. Мы добьемся полной однозначности в каноническом смысле, если в разложении многочлена на неприводимые множители из каждого сомножителя вынесем его старший коэффициент:

f(x) = a p₁(x)… p _k(x) ; а – ст. к. f(x). ст. к. p_i = 1 (2)

Определение. Если неприводимый многочлен p(x) встречается в разложении (2) несколько раз, то он называется кратным множителем.

Например: если он встречается s раз, то он s-кратным. После этого разложение (2) допускает запись вида (3):

f(x) = a p₁(x)… p _m(x) ; p_i ≠ p_j (3)

Разложение (3) называют каноническим разложением многочлена на неприводимые. Оно определено однозначно (с точностью до порядка сомножителей).

Замечание 2. Задача о разложении многочлена на неприводимые над произвольным полем до сих пор не решена. Во многих случаях она решена. Мы приведем решение в случаях P=R;С.

Пусть f(x) =р^к(x)f₁(x), где неприводимый многочлен р(x) не делит f₁(x).

Тогда р(x) называют неприводимым множителем кратности к для многочлена f(x)

Теорема 2. Пусть р(x) — к-кратный неприводимый множитель для многочлена f(x). Тогда он является k-1-кратным неприводимым множителем для его производной.

Доказательство. Возьмем производную f(x):

f^’(x)=kp^k-1(x) p^'(x)f₁(x)+p(x)^kf₁^'(x) = p^k-1(x)(k p^'(x) f₁(x)+ p(x) f₁(x)).

Очевидно, что многочлен в скобках не делится на p(x), что и доказывает теорему.

Упражнение 1. Верно ли обратное утверждение? (вообще говоря, да)