Невизначений інтеграл лекція 12. Поняття первісної та невизначеного інтеграла. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця основних формул інтегрування

12.1. Первісна функція і невизначений інтеграл

Займаючись диференціюванням функцій, ми ставили перед собою таку задачу: по даній функції знайти її похідну. Тепер перейдемо до вивчення оберненої задачі: знайти функцію, знаючи її похідну.

Означення. Функція називається первісною для функції для , якщо у всіх точках виконується рівність .

Якщо функція має первісну , то вона має нескінченну множину первісних, причому всі первісні знаходяться у виразі , де С - деяке дійсне число.

Означення. Невизначеним інтегралом від функції називається множина всіх її первісних і позначається символом . Таким чином, за означенням, , якщо . При цьому функцію називають підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом, знак - знаком інтеграла.

Знаходження невизначеного інтеграла називається інтегруванням функції.

12.2. Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, тобто, якщо , то і

.

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

.

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції плюс довільна стала

.

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох або декількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів:

.

5. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо , то

.

6. Якщо , то

.

12.2. Таблиця інтегралів

ЛЕКЦІЯ 13. МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ

13.1. Безпосереднє інтегрування

Безпосереднім інтегруванням будемо називати інтегрування за допомогою властивостей невизначеного інтеграла, тотожних перетворень підінтегральної функції і таблиці основних інтегралів.

Приклад. .

Приклад.

.

Приклад. Використавши властивість № 6 знайти .

Приклад. .

Приклад. .

13.2. Інтегрування методом заміни змінної

Заміна змінної в невизначеному інтегралі проводиться за допомогою підстановок двох видів:

1) , де - монотонна, неперервно диференційовна функція нової змінної t. Тоді . Формула заміни змінної в цьому випадку має вид

.

2) , де t - нова змінна. Формула заміни змінної при такій підстановці має вид

.

Приклад.

Приклад. .

Приклад. .

Приклад. .

13.3. Метод інтегрування частинами

Нехай і - дві неперервно диференційовані функції від х. Тоді використавши формулу для диференціала добутку :

.

Маємо або

. (1)

Ця формула називається формулою інтегрування частинами. За допомогою цієї формули знаходження інтеграла зводиться до знаходження іншого інтеграла ; її застосування доцільно в тих випадках, коли останній інтеграл або простіше вихідного, або йому подібний.

При цьому за u береться така функція, яка при диференціюванні спрощується, а за dv - та частина підінтегрального виразу, інтеграл від якої відомий або може бути знайдений.

Класи інтегралів, що інтегруються частинами: , , , де - многочлен, за u слід прийняти , а за dv - відповідно вирази , , ; для інтегралів виду , , , , за u приймаються відповідно функції , , , , , а за dv - вираз .

Приклад.

.

Приклад.

.

Приклад.

Приклад.

Проінтегрувавши частинами ще раз маємо

Після двократного інтегрування частинами, ми в правій частині знову одержали початковий інтеграл. Таким чином, приходимо до рівняння з невідомим інтегралом. З цього рівняння знаходимо

тобто

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

14.2. Формула Ньютона - Лейбніца

, (2)

де - первісна функції або невизначений інтеграл.

Приклад. Обчислити визначений інтеграл:

.

14.3. Властивості визначеного інтеграла

Визначений інтеграл має ті ж властивості, що й невизначений. Крім того:

1^о. Якщо відрізок інтегрування [a, b] розбитий на дві частини [a, с] і [с, b], то .

2^о. .

3^о. , якщо .

4^о. , якщо .

14.4. Заміна змінної у визначеному інтегралі

Має місце наступна формула заміни змінної у визначеному інтегралі

, , .

Приклад. Обчислити визначені інтеграли:

а)

б)

14.5. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Застосувавши формулу Ньютона-Лейбница до формули інтегрування частинами, маємо

(3)

Приклад. Обчислити визначений інтеграл:

14.6. Обчислення площ плоских фігур за допомогою визначеного інтеграла

Якщо на [a, b] функції і неперервні, то площа області, обмеженої знизу графіком функції , зверху - графіком функції , зліва - прямою , справа - прямою обчислюється за формулою:

Я кщо на [a, b] функції і неперервні, то площа області, обмеженої зліва графіком функції , справа - графіком функції , знизу - прямою , зверху - прямою обчислюється за формулою:

П риклад. Обчислити площу області, обмеженої лініями , , .

Розв'язок. (кв. од.)

Приклад. Обчислити площу області, обмеженої лініями , , віссю ординат і прямою .

Розв'язок.