Скорость и ускорение

Скорость – векторная величина, определяемая соотношением

,

(1.1)

где – изменение радиус-вектора за время dt (рис. 1.6).

Рис.1.6

Длина вектора , т.е. модуль этого вектора, при бесконечно малом перемещении равен длине дуги , поэтому числовое значение скорости определяют по формуле.

.	(1.2)
Средняя скорость – это величина, которая равна скорости такого равномерного движения, при котором за то же время будет пройден тот же путь, как и при неравномерном движении.

Из (1.2) видно, что скорость численно равна пути, пройденному материальной точкой за единицу времени. Единица скорости в СИ – метр в секунду. Распространены также другие единицы скорости – километр в час, узел:

= 1,852 кмч.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Для прямолинейной траектории вектор совпадает с направлением перемещения.

Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости как по значению, так и по направлению:

.

(1.3)

В скалярной форме

.

(1.4)

Ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени.

Нетрудно видеть, что ускорение есть вторая производная от пути по времени:

.

. Нормальное и касательное ускорения

Рис. 1.7

Введём вначале понятие окружности, соприкасающейся с кривой в данной точке. Выделим на кривой три близко расположенные точки B, A и B' (рис.1.7) и проведём через них окружность. Если точки B и B' расположены на бесконечно малом расстоянии от точки A, то проведенная через эти точки окружность называется соприкасающейся, а её радиус r – радиусом кривизны кривой в точке A. Для окружности r = const, для прямой r = . В общем случае для произвольной кривой радиус кривизны меняется от точки к точке: он возрастает на пологих участках и уменьшается на крутых изгибах.

Движение материальной точки по криволинейной траектории является всегда ускоренным, поскольку если даже скорость не изменяется по числовому значению, то всегда изменяется по направлению. В общем случае ускорение при криволинейном движении можно представить в виде векторной суммы (рис.1.8) касательного (или тангенциального) ускорения и нормального ускорения :.

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Значение этого ускорения будет

,

(1.5)

а его направление совпадает с касательной к траектории (рис.1.8).

Рис. 1.8

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Числовое значение этого ускорения

,

(1.6)

где r – радиус кривизны.

Вектор направлен по нормали к траектории к центру кривизны (центру соприкасающейся окружности). В частном случае движения по окружности нормальное ускорение называют центростремительным.

Числовое значение полного ускорения

или

,

(1.7)