1.4. Вращательное движение твердого тела

1.4.1. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела. Момент инерции

Рис. 4.1.

Рассмотрим простейший случай вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. При таком движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых находятся на оси вращения (рис. 4.1). Что же касается точек, расположенных на оси вращения, то они остаются неподвижными.

Для нахождения кинетической энергии вращательного движения разобьем тело на n материальных точек. Кинетическая энергия i-ой материальной точки

.

Линейные скорости точек вращающегося тела различны, а угловые скорости одинаковы, поэтому.

Следовательно,.

Просуммируем последнее выражение по всем материальным точкам. В результате получим выражение для кинетической энергии вращательного движения твердого тела

.

Введем величину

,

(4.1)

которая называется моментом инерции.

Тогда

,

(4.2)

Для сравнения напомним, что кинетическая энергия поступательного движения

,

(4.3)

Из сопоставления (4.2) и (4.3) видно, что во вращательном движении момент инерции играет такую же роль, что и масса – при поступательном. По этой аналогии моменту инерции можно придать следующий физический смысл: момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Момент инерции тела – более сложная характеристика инертных свойств тела по сравнению с его массой. Твердое тело обладает одним значением массы и множеством моментов инерции, значения которых зависят от выбора оси вращения. Из множества моментов инерции выделяют подмножество собственных моментов инерции, рассчитываемых относительно осей, проходящих через его центр масс, а из собственных выделяют два главных, имеющих наибольшее и наименьшее значения. Момент инерции тела зависит не только от выбора оси вращения, но и от его массы, а также формы и размеров.

В общем случае, чем больше масса тела, тем больше его момент инерции.

Зависимость момента инерции от формы и размеров тела неявно фигурирует в выражении (4.1) через квадраты радиусов вращения материальных точек. Очевидно, что чем дальше от оси вращения отстоят материальные точки, тем больший вклад они вносят в момент инерции тела.

Для иллюстрации рассчитаем собственные моменты кольца и диска с одинаковой массой и радиусом (рис. 4.2). Поскольку все точки кольца удалены от оси вращения на одно и то же расстояние r_i=R, то из (4.1) следует

,

или

,

где m – масса кольца.

Собственный момент инерции сплошного однородного диска (рис. 4.2, б) в 2 раза меньше соответствующего момента кольца (Прил. 1).

Моменты инерции шара и стержня показаны на рис. 4.3.

В ряде случаев для расчета несобственных моментов инерции удобно использовать теорему Штейнера: момент инерции I относительно оси, параллельной оси собственного вращения, равен собственному моменту инерции I₀ плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 4.4):

.

(4.5)

Рис. 4.2.

Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

Например, момент инерции стержня относительно оси AA (рис. 4.5)

.