- •Дифференциальное исчисление функции двух и более переменных Частные производные , их геометрический и физический смыслы
- •Понятие дифференцируемости функции . Полный дифференциал .
- •Сложная функция двух переменных и ее дифференцирование
- •Инвариантность формы полного дифференциала сложной функции двух переменных
- •О частных производных и дифференциалах высших порядков.
- •О неявном способе задания функции двух переменных и ее дифференцировании в этом случае
- •Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (в )
- •О геометрической интерпретации
- •О формуле Тейлора для функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия существования экстремума
- •Достаточные условия существования экстремума в точке функции
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области
- •Об условном экстремуме. Функция и множитель Лагранжа (для )
Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области
Пусть и
Укажем правило нахождения и .
1. Находим стационарные точки функции в области , то есть решаем систему:
2. Вычисляем значение функции в этих точках.
3. Выбираем среди этих значений наибольшее и наименьшее.
Важно: исследовать характер стационарных точек не обязательно.
4. Провести исследование на экстремум на границе области , то есть на линии и найти .
5. Из пунктов 3 и 4 находим (путем сравнения) .
Об условном экстремуме. Функция и множитель Лагранжа (для )
Пусть точка – точка экстремума (, причем координаты точки удовлетворяет при этом и уравнению (дополнительному условию) связи:
def : точка - точка экстремума при условии (1), или:
точка - точка условного экстремума:
а) Необходимое условие существования условного экстремума.
Теорема 1. ] 1)
( непрерывные частные производные в ).
2) (точка не является особой точкой для ).
3) точка - точка условного экстремума, то есть (3).
[ для функции
def. 1. Функция в (4) –функция Лагранжа.
2. в (4) – множитель Лагранжа.
Замечание: из (5) следует, что точка – стационарная точка функции Лагранжа .
б) Достаточные условия существования условного экстремума.
Теорема 2. ] 1) выполнены условия (5), то есть - стационарная точка функции из (4) (или точка - стационарная точка функции (при ).
2)
[ а) ] , то точка - точка условного __________ минимума для относительно условия (1):
б) ] , то точка - точка условного __________ максимума для относительно условия (1):
Пример1. Исследовать на условный экстремум
если
Решение:
1) Составим функцию Лагранжа :
2) Найдем
3) Решим систему:
Имеем: (9) ~
Таким образом, получим стационарную точку для функции ~ точка при – точка, в которой может быть условный экстремум функции (6) при условии (7).
4. Найдем при :
Из (8):
5. Вычислим
6. Из (7) для
, то есть
7. (12) подставим в (11): .
Вывод: точка при - точка условного максимума для (6) и (7) .
Рис.
1
Парабола – сечение с плоскостью
Пример 2. Исследовать на экстремум среди тех точек , которые лежат на прямой
Решение. 1. Составим функцию Лагранжа
2.
3. Решаем систему
4. Из дополнительного условия при →
5.
6.
7.
Вывод: точка - точка условного строго минимума для при .