- •Дифференциальное исчисление функции двух и более переменных Частные производные , их геометрический и физический смыслы
- •Понятие дифференцируемости функции . Полный дифференциал .
- •Сложная функция двух переменных и ее дифференцирование
- •Инвариантность формы полного дифференциала сложной функции двух переменных
- •О частных производных и дифференциалах высших порядков.
- •О неявном способе задания функции двух переменных и ее дифференцировании в этом случае
- •Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (в )
- •О геометрической интерпретации
- •О формуле Тейлора для функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия существования экстремума
- •Достаточные условия существования экстремума в точке функции
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области
- •Об условном экстремуме. Функция и множитель Лагранжа (для )
Инвариантность формы полного дифференциала сложной функции двух переменных
Пусть
причем
Подставим (2) в (1)→: причем и и
или
Из (3) и (4) следует, что форма полного дифференциала для (1) и (2) неизменна.
Замечание.
Из (4) получим (3), двигаясь в обратном порядке.
О частных производных и дифференциалах высших порядков.
1) Пусть
и и . (1)
Если и дифференцируемы в некоторой точке , то и , Что обозначают так:
Теорема. ]1), 2)
Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и так далее -ого порядка
где - общее число дифференцирований ,
- число дифференцирований по ,
- число дифференцирований по .
Например,
и т.д.
Пример. Убедиться, что , если
Решение: ,
.
2) def:
- дифференциал второго порядка функции
Вообще
– дифференциал -ого порядка , при условии, ] частные производные соответствующих порядков.
Имеем:
Используя (1) и (2), аналогично получим:
В общем случае
где
О неявном способе задания функции двух переменных и ее дифференцировании в этом случае
] def некоторую функцию , то есть . Например, def: .
Теорема. ] 1) , где - открытый шар с центром в точке и радиуса :
2)
3)
[ в определяет как однозначную функцию от и : так, что
а)
б)
в)
Идея получения формул (3) из
Пример. Пусть определяется уравнением
Найти:.
Решение.]
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (в )
Пусть поверхность (в ) задана неявно уравнением
Пусть . Проведем через точку линию и заданную параметрически (в ):
-
Так как , то (2) обращает (1) в тождество
Из (3) следует, что
Пусть
Тогда (4) перепишем
Вектор – вектор, касательный к линии в точке . Из (6) следует, что он . Через точку можно провести множество линий , и для касательных векторов которых (6). Отсюда следует, что касательные прямые к этим линиям лежат в одной плоскости, которую и называют касательной плоскостью (как объединение всех касательных прямых). Вектор - нормальный вектор касательной плоскости, а прямая, на которой лежит вектор - нормаль к поверхности в точке .
Пусть причем (то есть
Очевидно, что уравнение касательной плоскости имеет вид (в точке )
ибо ( – нормальный вектор касательной плоскости), а уравнение нормали:
ибо ( - направляющий вектор нормали).
Пусть
Это означает, что поверхность задана в явном виде:
Тогда из (6в) → и уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке принимают вид: