- •Дифференциальное исчисление функции двух и более переменных Частные производные , их геометрический и физический смыслы
- •Понятие дифференцируемости функции . Полный дифференциал .
- •Сложная функция двух переменных и ее дифференцирование
- •Инвариантность формы полного дифференциала сложной функции двух переменных
- •О частных производных и дифференциалах высших порядков.
- •О неявном способе задания функции двух переменных и ее дифференцировании в этом случае
- •Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности (в )
- •О геометрической интерпретации
- •О формуле Тейлора для функции двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия существования экстремума
- •Достаточные условия существования экстремума в точке функции
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области
- •Об условном экстремуме. Функция и множитель Лагранжа (для )
О геометрической интерпретации
Если , где - касательная плоскость, то точка имеет координаты
. Подставим координаты точки в уравнение (8):
Итак, - приращение аппликаты точки касательной плоскости. Из рисунка следует, что
и (у нас на чертеже).
О формуле Тейлора для функции двух переменных
Пусть ( непрерывные частные производные в некоторой области , содержащей точку , до порядка включительно).
Пусть и такие, что
.
[ такое число , что имеет место формула Тейлора n-ого порядка
где
1) ] в (1) . Тогда
(2) - формула Тейлора первого порядка, причем
2) ] в (1) :
- формула Тейлора третьего порядка,
Идея доказательства формулы (1):
1) уравнение :
2)
3)
4)
5) у нас
6) Получаем формулу (1), если подставить (4) и (5) в (3).
Экстремум функции двух переменных
Пусть в некоторой области
def 1.
если , что
или
def 2. , если , что
или
В (1) и (2) говорят о строгом или ( в случае ≤ или ≥ слово опускают).
def 3. Точки и точки - точки экстремума функции .
сохраняет знак в : в ).
Необходимые условия существования экстремума
Теорема.
] 1) ( в точке и ее окрестности ), то есть ,
2) ,
3) .
[
Доказательство. Фиксируем , то есть ] для , рассмотрим - функцию одной переменной . Точка - точка экстремума для . По теореме Ферма (так как .
Аналогично доказывается, что (фиксируя ).
Следствие. Если 1) , 2) , то . Из условий 1) – 3) теоремы и → и в силу (3) они равны нулю. [.
Замечание: аналогичные необходимые условия имеют место и для
Пример 1. Исследовать на экстремум .
Решение.
в точке . В
Таким образом, точка .
Пример 2. Исследовать на экстремум .
- стационарная точка →.
- приращение меняет знак в окрестности . Следовательно, вообще не имеет экстремальных точек. Это подчеркивает, что условия необходимые, но недостаточные.
def 4. Пусть . Если
то точка - стационарная точка функции (или точка ).
Достаточные условия существования экстремума в точке функции
Введем обозначения:
и пусть
Теорема.
Пусть 1) и (имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно).
2) точка - стационарная точка()
Тогда а) ] , то ,
причем 1) при – точка,
2) при - точка
Замечание: , ибо ] , [.
] , то экстремума в точке нет и .
] , экстремум в точке может быть, а может и не быть, требуется дополнительное исследование.
Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка:
где
Так как точка - стационарная точка, то
и (2) примет вид:
Показывается, что слагаемое не влияет на знак и, следовательно,
где
Исследуем .
Имеем:
а) Пусть в (5) . [ из (5) следует, что
Из (4)и (6)следует
Равенство (7) позволяет утверждать:
1), [ в и ,
2) , [ в и .
б) Пусть в (5) .
Выберем 1) , [
2) ] , а . [
Из (8), (9) с учетом (4) следует вывод: меняет знак в . Следовательно, в экстремума нет.
в) Пусть в (5) . Любопытно, что в этом случае экстремум может быть, а может и не быть, требуется дополнительное исследование.
Рассмотрим этот случай на примерах (что достаточно для доказательства).
1) ] . Имеем:
,
ибо . Далее
С другой стороны,
и .
2) ] .
Далее .
Но меняет знак в . Это означает, что точка не является точкой экстремума функции .
Итак, из рассмотренных примеров следует, что в случае экстремум может быть, а может и не быть.