Вопрос 19. Односторонние системы линейных уравнений.

Система m-линейных уравнений с n-неизвестными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=0

…………………………………… (1)

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=0

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет хотя бы нулевые решения (0,0,…,0)

Если в системе (1) m=n, а ее определитель не равен 0, то такая система имеет только нулевое решение . Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен 0.

Иначе система однородных линейных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэф-в при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A)<n .

Обозначим решение системы (1) x₁=k₁,…x_n=k_n в виде строки l₁=(k₁,k₁,…,k_n)

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1.Если строка l₁=(k₁,k₁,…,k_n)-решение системы (1 ), то и строка λl₁=(λk₁, λk₁,…, λk_n)-также решение этой системы.

2.Всякая линейная комбинация решений линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Система линейно независимых решений l₁,l₂,…,l_k называется фундаментальной, если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией решений l₁,l₂,…,l_k.

Теорема: Если ранг r-матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из n-r решений.

Поэтому общее решение системы (1) линейных однородных уравнений имеет вид:

C₁l₁+C₂l₂+…+C_kl_k,

где l₁,l₂,…,l_k-любая фундаментальная система решений; C₁,C₂,…,C_k-произвольные числа, k=n-r