- •Вопрос 20 Расстояние м/у двумя точками. Площадь треугольника.
- •Вопрос 15
- •Вопрос 17.Правило Крамера.
- •Вопрос 21. Деление отрезка в данном отношении.
- •Вопрос 22. Полярная система координат.
- •Вопрос 23. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •Вопрос 24. Уравнение прямой , проходящей через данную точку в заданном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
- •Вопрос 25. Угол между прямыми . Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопрос 26. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •Вопрос 27. Нормально уравнение прямой. Расстояние от точки для прямой.
- •Вопрос 28. Окружность
- •Вопрос 29. Эллипс.
- •Вопрос 30. Гипербола.
- •Вопрос 31.Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Вопрос 32.Парабола.
- •Вопрос 18 Метод Гаусса.
- •Вопрос 19. Односторонние системы линейных уравнений.
Вопрос 17.Правило Крамера.
Теорема. Пусть ∆-определитель матрицы А(∆=|A|), ∆j-определитель матрицы, получаемой из матрицы А с заменой j-го столбца столбцом из свободных членов. Тогда при ∆≠0 система имеет единственное решение, опр-е по формулам
xj= (8), j=
Формулами Крамера наз-ся формула (8)
Доказательство:
A-1=*, где -присоединенная матрица.
Т.к. элементы есть алгебраические дополнения элементов матрицы AI транспонированной к A, то запишем равенство Х=А-1В (7) в развернутом виде
()= ()*()
Т.к. |A|= ∆ после умножения матриц получим ()= ()
Отсюда следует , что любого j=1,n
xj= (b1Aij+b2A2j+…+bnAnj)
b1Aij+b2A2j+…+bnAnj =∆j, где j –определитель матрицы, полученной из матрицы A с заменой j-го столбца столбцом из свободных членов
Xj=.
Вопрос 21. Деление отрезка в данном отношении.
Пусть на плоскости задан М1М2.
И пусть М-любая точка этого отрезка , не совпадающая с концами
(4)
λ- отношение в котором точка М делит отрезок М1М2.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, что по данному отношению λ и данным координатам М1 и М2 находятся координаты точки М
Теорема. Если точка М от (х;у) делит отрезок М1М2 в отношении λ, то координаты этой точки
, (5)
Доказательство:
Опустим перпендикуляр из точки М1, М и М2. Обозначим через Р1, Р, Р2-основания этих перпендикуляров. На основе теории о пропорц. отрез. прямой заключается между параллельными прямыми:
|P1P|=|X-X2|, |P-P2|=|X2-X|
Т.к. значение под модулем одинакового знака, то можно записать
=> => x=
Получить 2-ю из (5) аналогично, спроектировать координаты точки на ось у.
Если М-середина отрезка М1М2, то λ=1 и по формулам (5) координаты отрезка находятся формулой (5).
Вопрос 22. Полярная система координат.
Состоит их точки О(полюс) и исходящего из него луча ОЕ(полярный курс). Пусть М-производная точка плоскости, -расстояние точки М от О, ϕ-угол, на коэф. которого нужно поверн. полярн. ось.
Установим связь между полярными координатами точки М(;у) и (х;у).
При этом будем предполагать, что начало координат нах-ся в полюсе, а полож. Ось абсцисс совпадает с полярной осью.
Пусть М имеет прямоугольн. коорд. ху М(ху) и поляр. коорд. М(; ϕ)
Из чертежа:
ормулы (1) выражают прямоугол. Коорд. Через полярн.
Или выраж. пол. коорд. через тр-гольн. форм. 1
=√x22+y22 tg ϕ= (7)
Заметим, что tg ϕ определяет два значения половины угла ϕ, т.к. ϕ меняется от 0 до ∏. Из этих 2-х значений … правило, которое выполняет равенство (1)
Вопрос 23. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение F(x;y)=0, называется уравнение линейной L, заданной в системе координат. Если ему удовл-т координаты изображаемой точки, лежащей на линии L и не удовлетворяют координаты точки не лежащей на этой линии. Линия L может опред. ур-м вида F( ϕ)=0. ϕ- полярные координаты точки.
1=
Пусть прямая пересекает ось ОУ. В точке В с координатами 0 и b B(0;b) и образует с осью ОХ угол : 0<<∏/2
Возьмем на прямой произвольную точку М с координатами (х;у), тогда tg-угол наклона прямой tg (1)
Введем угловой коэффициент k= tg
k= => y=kx+b (2)
Справедливо при условии ∏/2<<∏ ур-е прямой с углов. коэффициентом.
Рассмотрим частные случаи :
1.b=0 => y=kx-проход ч/з начало координат и образующей
При k= tg>0-острый угол с ОХ
При k<0- тупой угол
y=x-биссектриса 1-го и 3-го коорд. углов
y=-x-биссектриса 2-го и 4-го координатных углов
2.Если =∏/2, то прямая перпендикулярна оси ОХ и k= tg-не сущ-т, т.е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента.
3.Если =0, то k=tg0=0. Отсюда y=b-прямая параллельная оси OX.
Если прямая отсекает от OX, то ее уравнение будет x=a. А уравнение OY=X=0