Вопрос 30. Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которого модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная меньшая чем расстояние между фокусами, обознач. через F1 и F2, а расстояние между фокусами.

|F1F2|=2c, модуль разности расстояния от произвольной точки гиперболы до фокуса через 2а.

По определению 2a<2c или a<c .

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы гиперболы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F1F2 пополам. Тогда фокусы гиперболы имеют координаты F1(-c;0), F2(c;0).

Выведем уравнение гиперболы. Пусть M(x;y) произвольная точка плоскости.

Числа |F1M|, |F2M| фокальными радиусами точки М и обозначается через r1,r2.

По определению |r1-r2|=2a (1) r1-r2=2a

По формуле расстояния между двумя точками

(2)- уравнение гиперболы.

Преобразуем его. Перепишем один радикал вправо и возведем обе части в квадрат.

(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²) (3)

b²=c²-a² b²x²-a²y²=a²b²

(4)

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы. Исследуем гиперболу по ее каноническому уравнению. Т.к. уравнение (4) содержит члены только с четными степенями ху, то гипербола симметрична относительно ху и относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть часть гиперболы, лежащей в первом координатном угле. На этой части y ≥0. Поэтому разрешая (4) уравнение относительно (у), получим

(5)

Из (5) следует:

1.Если 0≤x≤a , то x²-a²<0, следовательно, точки гиперболы с такими координатами нет.

2.Если x=a, то y=0, следовательно точка A(a;0) лежит на гиперболе.

3.Если x>a, то y>0, причем y возрастает с возрастанием x и y стремится к ∞ , при x стремящегося к ∞.

Переменная точка M(x;y) на гиперболе движется с ростом x вправо и вверх, а ее начальное положение A(a;0), причем точка M(x;y), уходя по гиперболе в ∞, неограниченно приближается к прямой

(6) называемой асимптотой гиперболы.

Вид гиперболы легко установить, используя симметрию относительно координатных осей. Гипербола имеет вид ветви и две асимптоты.

Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии О-центром гиперболы . Точки А и А^{l –}вершины гиперболы. Прямоугольник BB^lC^lC со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Величина a,b наз-ся действительной и мнимой полуосями гиперболы:

также определяет гиперболу.

Она изображена пунктиром. Вершина ее лежит на оси ОУ. Эта гипербола называется сопряженной по отношению к гиперболе (4)

Гипербола с одинаковыми полуосями называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид x²-y²=a².

Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Эксцентриситетом гиперболы называется решение . Чем меньше эксцентриситет, тем больше прямоугольник вытянут в направлении действительной оси.

Вопрос 31.Директрисы эллипса и гиперболы.

Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра от него называются директрисами эллипса.

Уравнение директрисы эллипса, заданного каноническим уравнением имеют вид:

Т.к. для эллипса E<1, то отсюда следовательно правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая-левее его левой вершины.

Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстояние от него называются директрисами гиперболы. Ур-я

Для гиперболы E>1 что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, а левая-между центром т левой вершины.

С помощью директрисы и эксцентриситета можно сформировать общее свойство, присущее эллипсу и гиперболе.

Множество всех точек, для которых отношение расстояния до фокуса и соответственно директрисы является величиной постоянной, равной =E-есть эллипс, если E>1 и гипербола, если E>1.

Возникает вопрос: что представляет собой множество точек, при условии E=1.

Оказывается это линия второго порядка, называемая гиперболой.