2. Приклади розв’язування.

Приклад 8.1. Дослідити функцію y = x³ – 6x² – 36x + 41 та побудувати її графік.

Розвязання.

1. Область визначення функції , тобто функція існує при всіх значеннях х.

2. Точки перетину з осями координат:

з віссю Х: y = 0  x³ – 6x² – 36x + 41 = 0

Підбором знаходимо, що х₀ = 1 є корінь рівняння, тому

x³ – 6x² – 36x + 41 = (х – 1)(x² – 5x – 41).

Знайдемо дві інші точки перетину графіка функції з віссю ОХ:

x² – 5x – 41 = 0, х₁ = 9,37 та х₂ = -4,97.

Точки перетину графіка з віссю ОХ:

А(1; 0); В(-4,97; 0); С(9,37; 0).

Точка перетину графіка з віссю ОY D(0; 41).

3. Парність, непарність, періодичність:

y(-х)= - x³ – 6x² + 36x + 41;

функція загального вигляду: ні парна, ні непарна, не періодична.

4. Інтервали зростання та спадання функції, точки екстремуму:

y’ = 3x² – 12x -36; y’ = 0 ; x² – 4x –12 = 0; x₁ = 6; x₂ = -2 – критичні точки.

Складемо таблицю:

x	(-; -2)	-2	(-2; 6)	6	(6; +)
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)		81		-175
	Зростає		спадає		зростає

Точка максимуму функції у(-2) = 81: М(-2; 81).

Точка мінімуму функції у(6) = -175: N(6; -175).

5. Точки перегину, інтервали опуклості та вогнутості: ; 6х –12 = 0; х = 2 – критична точка другого роду.

Складаємо таблицю:

x	(-; 2)	2	(2; +)
	-	0	+
f(x)		-47	
	опукла		вгнута

Точка перегину у(2) = -47: Е(2; -47).

6. При великих |x| .

7. Функція не має асимптот.

8. Будуємо графік функції:

A

C

N

E

D

M

B

5

10

1

-5

100

200

300

-100

-200

y

x

0

42