- •Математична довідка.
- •Приклади розв’язування.
- •Векторна алгебра.
- •Математична довідка.
- •Приклади розв’язування.
- •Аналітична геометрія
- •Математична довідка. А) аналітична геометрія на площині
- •Б) аналітична геометрія в просторі
- •Приклади розв’язування.
- •Побудова графіків функції
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування
- •Границі
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування.
- •Застосування похідної.
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування.
Лінійна алгебра
-
Математична довідка.
-
Визначник другого порядку
.
-
Розв’язання системи
дається :
-
формулами Крамера
де
,
-
методом виключення невідомих, наприклад, із другого рівняння
тоді перше рівняння буде з одним невідомим
.
-
Розв’язки однорідної системи
даються формулами
,
де ; ;
мінори матриці
-
Визначник третього порядку
або
де ; ;
алгебраїчні доповнення відповідних елементів визначника.
-
Розв'язування системи
дається формулами Крамера
, де
-
Розв’язання однорідної системи
якщо і
знаходиться із підсистеми
(див.п.3).
-
Систему п. 5 можна розв’язувати методом виключення невідомих, методом Гауса, матричним методом та ін.
-
Приклади розв’язування.
Приклад 1.1. Розв’язати по правилу Крамера систему рівнянь:
Розв’язання
Обчислимо визначник системи
Так як , то система має єдиний розв’язок. Використаємо формули Крамера , .
Знаходимо:
Відповідь:
Приклад 1.2. Розв’язати методом Гауса систему рівнянь
Розв’язання
Залишимо перше рівняння системи без змін; до другого добавимо перше, помножене на –1, а до третього добавимо перше, помножене на –2:
Залишимо два перших рівняння без змін, а до третього добавимо друге, помножене на :
Кінець прямого ходу: одержали матрицю трикутної форми.
Обернений хід:
Із третього рівняння знаходимо ; підставимо його в друге, розв’язавши яке відносно , одержимо х2 = 2. Значення х3, х2 підставимо в перше рівняння і, розв’язавши його відносно х1, знайдемо х1= -3.
Відповідь: х1 = -3; х2 = 2; х3 = -1.
Приклад 1.3. Розв’язати методом Гауса систему рівнянь
Розв’язання
Переставимо місцями перше та друге рівняння:
Перше рівняння системи залишимо без змін; до другого добавимо перше, помножене на –2, а до третього – перше, помножене на –1:
Друге і третє рівняння однакові, одне з них можна опустити:
В цій системі три невідомих, а рівнянь два, тому одне з невідомих являється вільним. Вважаючи вільним невідоме х3, перепишемо систему так:
Із другого рівняння системи знайдемо:
.
Підставимо знайдене х2 в перше рівняння, знайдемо
.
Відповідь: .
Приклад 1.4. Розв’язати з допомогою оберненої матриці систему рівнянь
Розв’язання
Запишемо систему рівнянь в матричній формі
АХ = В.
Помножимо обидві частини рівняння АХ = В на А-1 зліва, тобто
А-1АХ = А-1В або Х = А-1В.
Таким чином, для розв’язку потрібно побудувати матрицю А-1, обернену до матриці А.
В нас
Обернену матрицю знаходимо по формулі:
де
- транспонована матриця ;
- приєднана до А матриця, складена з алгебраїчних доповнень елементів матриці А.
Обчислюємо
Обчислюємо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Складаємо матрицю :
Транспонуємо :
Отримуємо обернену матрицю:
Тоді
Відповідь:
Приклад 1.5. Розв’язати систему рівнянь
а) за методом Крамера;
б) за методом Гауса;
в) матричним методом.
Розв’язання
а) за методом Крамера:
Тоді
б) методом Гауса:
Складаємо розширену матрицю системи та приведемо її до трикутної за допомогою еквівалентних перетворень.
Від другого рядка матриці віднімемо перший рядок помножений на 2, а від третього рядка віднімемо перший помножений на 3:
Від третього рядка віднімемо другий помножений на 8:
Кінець прямого ходу.
Запишемо відповідну систему:
Обернений хід.
Із третього рівняння х3 = 3.
З другого рівняння системи маємо
.
Із першого рівняння:
.
Отже, розв’язок системи:
.
в) Матричним методом:
Систему можна записати у матричному вигляді АХ = В, де:
Тоді, якщо розв’язок системи знаходимо за формулою
Х = А-1В.
Знайдемо матрицю А-1, обернену до А.
Мали .
Обчислюємо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Складаємо:
Транспонуємо :
.
Знаходимо обернену матрицю:
.
Тоді
Таким чином, розв’язок системи