6. П

   охідна.

   1. Математична довідка

П

охідна

Геометрично - кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y = f(x) в точці з абсцисою х.

Правила диференціювання.

Нехай U = U(x), V = V(x), тоді:

1. - похідна суми;

2. – похідна добутку;

3. – похідна частки;

4. – похідна складеної функції.

5. Якщо x = x(t), y = y(t), то – похідна функції, заданої параметрично.

6. Похідна функції заданої неявно F(x, y) = 0; звідки

Таблиця похідних.

f(x)			f(x)
C	0
x	1		sinx	cosx
kx	k		cosx	-sinx
xn	nxn-1		tgx
			ctgx
lnx			arcsinx
			arccosx
ex	ex		arctgx
arcctgx

2. Приклади розв’язування.

Приклад 7.1. Знайти похідну функції

Розв’язання

Представимо функцію у вигляді

Тоді

Приклад 7.2. Знайти похідну функції y = (lnx + 1)³.

Розвязання.

Покладемо U = lnx+1, тоді y = U³.

За правилом диференціювання складної функції

Приклад 7.3. Знайти похідну функції

Розвязання.

Це добуток двох функцій та кожна з яких є складена функція (y₁ = 5^U, де U = x³ та , де ).

Тому

Приклад 7.4. Знайти похідну функції

Розвязання.

Приклад 7.5. Знайти похідну функції

Розвязання.

Спочатку прологарифмуємо: lny = sin²x lnx.

Продиференціюємо:

Звідси

Остаточно

7. Застосування похідної.

   1. Математична довідка

1. Правило Лопіталя для невизначеностей вигляду , :

2. При дослідженні функцій:

6. Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці х₀:

або не існує.

7. Достатні умови екстремуму функції f(x) в точці х₀:

а) , при малих h₁, h₂:

якщо знак змінюється з “+” на “-“, то при х₀ буде максимум; якщо знак змінюється з “-“, на “+”, то при х₀ буде мінімум.

б) ;

якщо , то при х₀ буде максимум;

якщо , то при х₀ буде мінімум.

якщо, ,то використовують .

3. Необхідна умова точки перегину графіка функції y = f(x) при x = x₀: або не існує.

4. Достатня умова точки перегину графіка функції y = f(x) при x = x₀: , при малих h₁, h₂, тобто при переході через точку х₀ змінює свій знак.

Схема дослідження функції.

1. Встановити область визначення функції.

2. Визначення нулів функції – перетин з осями координат: f(0) = ..., f(x) = 0.

3. Встановити: парність, непарність, періодичність функції.

4. Встановити проміжки знакосталості.

5. Встановити проміжки зростання і спадання.

6. Знайти точки екстремуму і значення функції в цих точках.

7. Встановити точки перегину і значення функції в цих точках, для чого:

а) знайти другу похідну функції

б) знайти точки, в яких або не існує;

в) дослідити знак другої похідної зліва і справа від х₀ і зробити висновок про інтервал випуклості та вогнутості.

г) знайти значення функції в точках перегину.

8. Вияснити поводження функції при великих по модулю х.

9. Знайти асимптоти функції у = f(x):

а) Якщо , то f(x) має вертикальну асимптоту х = х₀ (наприклад, f(x) = має вертикальну асимптоту х = 2).

б) Якщо , то f(x) має горизонтальну асимптоту y = b. (наприклад, f(x) = має горизонтальну асимптоту у = 0).

в) Нахилена асимптота має рівняння причому

(наприклад, f(x) = має асимптоту у = х + 2, так як

10. Побудувати графік досліджуваної функції.