- •Математична довідка.
- •Приклади розв’язування.
- •Векторна алгебра.
- •Математична довідка.
- •Приклади розв’язування.
- •Аналітична геометрія
- •Математична довідка. А) аналітична геометрія на площині
- •Б) аналітична геометрія в просторі
- •Приклади розв’язування.
- •Побудова графіків функції
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування
- •Границі
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування.
- •Застосування похідної.
- •Математична довідка
- •Приклади розв’язування.
-
Побудова графіків функції
-
Математична довідка
-
Нехай заданий графік функції y = f(x), тоді справедливі твердження:
-
Графік функції y = f(x) + D є графік функції f(x), зсунутий на |D| одиниць паралельно осі ОY (при D > 0 вверх, при D < 0 вниз).
-
Графік функції y = f(x + c) є графіком функції f(x), зсунутим на |c| одиниць паралельно осі ОХ (при c > 0 вліво, при c < 0 вправо).
-
Графік функції y = Af(x) є графік функції f(x), розтягнутий в А раз по осі OY (при A > 1, або стиснутий по OY при 0 < A < 1).
-
Графік функції y = f(Bx) є графік функції f(x), стиснутий в В раз при В > 1 по осі ОХ або розтягнутий при 0 < В < 1.
-
Можлива комбінація y = Af(Bx + C) + D.
-
Приклади розв’язування
Приклад 5.1. Побудувати графік функції y = -3cos2x
Розв`язання.
-
Будуємо графік функції y1 = f(x) = cosx
x |
0 |
/4 |
/2 |
|
-/4 |
-/2 |
- |
y1 |
1 |
0,707 |
0 |
-1 |
-0,707 |
0 |
-1 |
-
Будуємо графік y2 = cos2x - стиск по ОХ в 2 рази
-
Будуємо графік y3 = -cos2x – дзеркальне відображення відносно ОХ графіка y2 = cox2x, тобто y3 = -y2
-
Будуємо графік y4 = -3cox2x – розтягуємо по осі OY в 3 рази графік y3, тобто y4 = 3y3; y = y4
-
Границі
-
Математична довідка
-
-
Функція y = f(x) має границю А при х = х0:
якщо при наближенні х до х0 значення функції f(x) підходять як завгодно близько до числа А.
-
Безмежна границя функції:
-
Границя функції на безмежності:
-
Границя функції зліва і справа:
-
Основні теореми (твердження) про границі функцій:
а) Функція не може мати більше однієї границі в точці.
б) Границя постійної величини дорівнює цій величині.
Нехай
тоді:
в)
г)
д)
-
Перша особлива границя:
-
Друга особлива границя:
,
інші форми
-
Обчислення границь.
Використовують основні теореми про границі та перетворюють функцію до вигляду, для якого границю простіше знайти.
-
Приклади розв’язування
Приклад 6.1. Знайти при
а) x0 = 7; б) x0 = 5; в) x0 = .
Розв`язання.
а) На основі неперервності функції в точці х = 7 шукана границя дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
б) При х 5 чисельник прямує до 35 + 5 = 20, тобто являється обмеженою функцією, а знаменник (х - 5) прямує до нуля, тобто є безконечно малою величиною, тому їх відношення є безконечно велика величина, тобто
в) , в цьому випадку ні чисельник, ні знаменник не мають границі, тому що обидва необмежено зростають .
Перетворимо функцію під знаком границі , розділивши чисельник і знаменник на х, тоді одержимо:
Приклад 6.2. Знайти .
Розвязання.
Границя чисельника і знаменника дорівнює нулю :
Отже, теорему про границю частки застосовувати не можна.
Перетворимо функцію під знаком границі:
ми розклали чисельник на множники та скоротили дріб на (х - 4).
Тому
Приклад 6.3. Знайти
Розвязання.
В цьому випадку ні чисельник ні знаменник не мають границі, тому що обидва необмежено зростають . Перетворимо функцію під знаком границі, розділивши чисельник і знаменник на х4:
.
Тоді
Приклад 6.4. Знайти
Розвязання.
При безпосередній підстановці х = 1 матимемо невизначеність . Це означає, що у чисельнику і в знаменнику є множник (х - 1), який їх перетворює в нуль. Поділимо чисельник на (х - 1) “кутом”:
|
x3 |
– |
5x |
+ |
4 |
|
|
x – 1 |
|
x3 |
– |
x2 |
|
|
|
|
x2 + x- 4 |
|
|
|
x2 |
– |
5x |
+ |
4 |
|
|
|
|
x2 |
– |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
-4x |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
-4x |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Тому чисельник можна записати у вигляді добутку співмножників:
x3 – 5x + 4 = (x – 1)(x2 + x – 4).
Щоб виділити множник (х – 1) у знаменнику, помножимо знаменник і чисельник на спряжений знаменнику вираз:
Тому
Приклад 6.5. Знайти:
а) б) в)
Розвязання.
а)
б)
так як кожний із останніх співмножників є границя типу яка дорівнює 1.
в)
Перетворимо функцію під знаком границі:
Приклад 6.6. Знайти границю
а) б) в)
Розвязання.
Використаємо другу особливу границю перетворюючи функцію під знаком границі.
а)
б)
в)
Перетворимо функцію Виділимо 1, поділивши кутом (3х + 2) на (3х - 4):
|
3x |
+ |
2 |
3x – 4 |
|
3x |
- |
4 |
1 |
|
|
|
6 |
|
Тому
Тоді .
Перейдемо до границі
Знаходимо
тому