Б) аналітична геометрія в просторі

1. Декартові прямокутні координати точки простору є

де - радіус-вектор точки М.

2. Довжина і напрям вектора визначаються формулами

напрямні косинуси кутів вектора :

3. Відстань між двома точками і :

.

4. Загальне рівняння площини в координатній формі Ax+By+Cz+D=0;

у векторній формі

де - нормальний вектор до площини, що проходить через точку M₀(x₀, y₀, z₀);

5. Відстань від точки M₁(x₁, y₁, z₁) до площини Ax+By+Cz+D=0 дорівнює

6. Пряма лінія як перетин двох площин задається рівняннями

7. Рівняння сфери радіуса R з центром (x₀, y₀, z₀):

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R².

8. Рівняння трьохосного еліпсоїда з півосями a, b, c:

9. Рівняння параболоїда обертання навколо осі Oz:

x² + y² = 2pz.

2. Приклади розв’язування.

Приклад 3.1 Побудувати прямі x – y + 1 = 0 та x – 2 y + 2 = 0 і знайти кут між ними.

Розв`язання.

1. Будуємо прямі x – y + 1 = 0 та x - 2y + 2 = 0.

x	0	1
y	-1	0

x	0	-2
y	1	0

2. Знайдемо кут між прямими L₁ і L₂ , використовуючи формулу

Знайдемо кутові коефіцієнти:

y = x + 1, k₁ = 1, y = 1/2x + 1, k₂ = 1/2.

Тоді

Приклад 3.2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(-5, 4) і В(3, -2).

Розв`язання.

Використаємо формулу

В нас звідки y = 3/4x + 1/4.

Приклад 3.3. Перевезення вантажу з пункту А в пункт В, що знаходиться на відстані 100 км, коштує 200 гривень, а в пункт С, що знаходиться на відстані 400 км — 350 гривень.

Встановити залежність вартості перевезення y від відстані x, якщо вартість є лінійною функцією відстані (якість доріг не враховується).

Розв`язання.

Залежність вартості перевезення у від відстані х за умовою задачі – лінійна функція y = kx + b.

Для знаходження невідомих параметрів k та b скористаємось умовами:

y = 200 при x = 100,

y = 350 при x = 400.

Тобто

Звідси a = 0,5; b = 150.

Тоді залежність визначається рівнянням y = 0,5x + 150 — пряма лінія.

Приклад 3.4. Записати за допомогою системи нерівностей множину точок, що лежать в середині трикутника з вершинами А(2, 1), B(6, 3), C(4, 5).

Розв`язання.

x

Очевидно множину всіх внутрішніх точок трикутника АВС можна розглядати як перетин трьох півплощин, із яких перша обмежена прямою АВ і має точку С; друга обмежена прямою ВС і має точкуА; третя обмежена прямою АС і має точку В.

Знайдемо нерівність, що визначає першу із цих півплощин. Складемо рівняння прямої АВ за двома точками

x - 2y = 0. (a)

Підставимо в (а) координати точки С(4, 5): 4 - 25 = -6 < 0.

Отже, перша півплощина визначається нерівністю

x – 2 y < 0. (1)

Аналогічно для ВС:

x + y – 9 = 0. (b)

Підставляємо в (b) координати точки А(2, 1): 2 + 1 – 9 = -6 < 0.

Отже,

x + y – 9 < 0. (2)

Півплощина обмежена СА:

(c )

Підставляємо координати В(6, 3) в (с): 26 – 3 – 3 = 6 > 0.

Отже, 2x – y – 3 > 0. (3)

Таким чином, множина всіх внутрішніх точок трикутника АВС визначається системою лінійних нерівностей

Приклад 3.5. Задані вершини трикутника АВС: А(2, 5); B(-3, 1); C(0, 2). Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) кут ВАС;

в) довжину висоти СН;

г) систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС;

д) рівняння висот трикутника і точку їх перетину. Зробити рисунок.

Розв`язання.

а) Довжину сторони АВ знайдемо по формулі

б) Кут ВАС знайдемо по формулі

Знайдемо кутові коефіцієнти

1. Рівняння прямої АВ:

2. Рівняння прямої АС:

Тоді

Кут можна знайти також по формулі

в) Довжину висоти СН знайдемо по формулі

Знайдемо рівняння прямої АВ у вигляді

Ах + By + C = 0.

Ми мали рівняння цієї прямої в пункті б)

y = 4/5x + 17/5,

звідки 5y = 4x + 17, тобто 4x - 5y + 17 = 0.

Віддаль від точки С(0, 2) до цієї прямої

г) Знайдемо систему лінійних нерівностей, що визначають трикутник АВС.

Запишемо рівняння прямих

AB: 4x - 5y + 17 = 0 - мали в п. б);

AC: 3x - 2y + 4 = 0 - мали в п. б).

Для прямої ВС знаходимо:

x - 3y + 2 = 0 — рівняння прямої ВС.

Проти АВ лежить точка С(0,2), тому знаходимо

40 - 52 + 17 = 10 > 0.

Отже, перша нерівність

4x - 5y = 17 > 0.

Аналогічно для прямої АС беремо В(-3, 1):

2 (-3) - 21 + 4 = -6 – 2 + 4 = -4 < 0.

Отже, 3x - 2y + 4 < 0 — друга нерівність.

Аналогічно для прямої ВС x - 3y + 2 = 0 беремо точку А(2, 5):

2 - 35 + 2 = 2 – 15 + 6 = -3 <0.

Отже, x - 3y + 6 < 0 — третя нерівність.

Таким чином, маємо систему нерівностей, що визначають трикутник АВС;

д) Знайдемо рівняння трьох висот трикутника АВС, використовуючи рівняння сторін трикутника та формули y - y₁ = k^{`</sup>(x - x<sub>1</sub>) — рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку k<sup>`}, причому k` знаходимо з умови перпендикулярності висоти до сторони: де k—кутовий коефіцієнт сторони трикутника.

3. Рівняння висоти СН:

мали рівняння сторони АВ y = 4/5x + 17/5, тобто k₁ = 4/5, для СН кутовий коефіцієнт k₁^` = -5/4, точка С має координати С(0, 2), тому для висоти СН маємо

y – 2 = -5/4(x - 0), y = -5/4x + 2.

4. Рівняння висоти ВЕ:

для сторони АС k₂ = 3/2, для висоти ВЕ k₂^` = -2/3, точка В(-3, 1), тому для висоти ВЕ маємо:

y – 1 = -2/3(x + 3),

y = -2/3x - 1.

5. Аналогічно знаходимо рівняння висоти АD:

для прямої ВС мали k₃ = 1/3, тому для AD k₃` = -3, точка А(2, 5), тому

у – 5 = -3(х - 2), у = -3х + 11.

Точка М перетину висот трикутника є сумісний розв`язок їх рівнянь:

Із першого та другого рівняння знаходимо

-5/4х + 2 = -2/3х - 1, звідки 7/12х = 3, х=36/7

тоді у = -5/436/7+2, у = -31/7.

Перевіримо ,чи задовольняється при цьому третє рівняння:

y = -3х + 11, тобто –31/7 = -336/7 + 11, -31=-31.

Тобто всі три висоти перетинаються в одній точці М(36/7, -31/7).

Виконаємо рисунок.