- •Методическое пособие по физике Методы решения базовых задач по механике
- •Содержание
- •Предисловие
- •I. Кинематика материальной точки
- •1. Векторный способ
- •Решение задач
- •2. Координатный способ описания движения
- •Решение задач
- •3. Естественный способ описания движения
- •Решение задач
- •II. Кинематика твёрдого тела
- •1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Решение задач
- •2. Плоскопараллельное движение (ппд) твёрдого тела
- •Решение задач
3. Естественный способ описания движения
Этот способ применяется в том случае, когда известна траектория движения. Положение точки определяется дуговой координатой l - длиной дуги траектории от выбранного начала отсчёта. В этом случае ускорение представляется как векторная сумма двух составляющих
,
где - тангенциальное ускорение, которое направлено по скорости (по касательной к траектории), - модуль скорости;
- нормальное ускорение, которое направлено перпендикулярно скорости к центру кривизны траектории, - радиус кривизны траектории.
Решение задач
1.9. Частица движется по окружности радиуса R. В момент t = 0 она находилась в точке 0, и далее скорость её меняется со временем как , где и - положительные постоянные. Найти:
а) зависимость дуговой координаты l от времени;
б) пройденный частицей путь к моменту, когда она снова окажется в точке O.
Решение. а) По определению , поэтому
.
б) Дуговая координата l может возрастать, уменьшаться, может быть больше нуля, может быть меньше нуля. Пройденный путь может только возрастать (рис.8).
Поскольку по условию тело возвращается в исходное положение, то существует точка A, где её скорость :
,
что соответствует моменту времени ( - время остановки).
Дуговая координата в этот момент будет определяться соотношением
.
При , частица начинает двигаться в обратном направлении, и дуговая координата начнёт уменьшаться. В точке O дуговая координата частицы равна нулю l = 0, а пройденный путь равен
.
1.10. Точка движется по окружности с модулем скорости , где . Найти её полное ускорение в момент, когда она пройдёт n-ую часть длины окружности после начала движения.
Решение. Полное ускорение точки при движении по окружности
,
где
и .
Найдем время движения
,
по условию S = 0 при t = 0, поэтому c = 0, а
,
откуда
.
Тогда скорость точки в этот момент времени равна
.
Подставив найденное значение скорости в исходное уравнение, получим
.
1.11. Точка движется по окружности радиуса R. Её скорость зависит от пройденного пути S по закону , где - постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.
Решение. Из рис.9 видно, что (рис.9). Найдем тангенциальную и нормальную составляющие ускорения, которые по определению равны и . Так как :
, .
Подставив найденные величины в исходную формулу, получим
,
и соответственно
.
Заканчивая этот раздел, рассмотрим задачу, в которой определяется радиус кривизны траектории. По определению , поэтому для нахождения радиуса кривизны необходимо найти и .
1.12. Шарик бросили под углом к горизонту со скоростью . Найти
а) максимальную высоту подъема шарика,
б) радиус кривизны в начале траектории и в её вершине.
Решение. а) Из условия задачи известно направление вектора начальной скорости шарика . Ускорение шарика постоянно, направлено по вертикали вниз и равно . Выберем начало отсчета в точке бросания шарика, тогда в системе координат XY (рис.10)
, , ;
, , .
В верхней точке траектории и время подъема равно
.
Подставив время подъема в последнее уравнение, найдем максимальную высоту подъема шарика над Землей
.
б) Из рисунка видно, что в начальной точке траектории . По определению , поэтому
,
откуда радиус кривизны траектории в этой точке равен
.
В вершине траектории
, , ,
поэтому радиус кривизны в вершине траектории равен
.