- •Методическое пособие по физике Методы решения базовых задач по механике
- •Содержание
- •Предисловие
- •I. Кинематика материальной точки
- •1. Векторный способ
- •Решение задач
- •2. Координатный способ описания движения
- •Решение задач
- •3. Естественный способ описания движения
- •Решение задач
- •II. Кинематика твёрдого тела
- •1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Решение задач
- •2. Плоскопараллельное движение (ппд) твёрдого тела
- •Решение задач
2. Координатный способ описания движения
Само название этого способа описания движения говорит о том, что положение точки характеризуется тремя координатами
, , .
Зная зависимости этих координат от времени, можно найти положение точки в каждый момент времени, ее скорость и ускорение, то есть решить прямую и обратную задачи кинематики, рассмотренные ранее.
Решение задач
1.5. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъёма постоянна и равна 0. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости , где - постоянная, y - высота подъёма. Найти зависимость от времени:
а) координат шара x(t) и y(t);
б) скорость и ускорение шара;
в) уравнение траектории x(y).
Решение. а) Из условия задачи , поэтому
,
Из начальных условий при t = 0, следовательно, .
Тогда
.
По условию , поэтому
,
при t = 0, следовательно, , а
.
б) Выше были определены выражения для и .
Теперь определим проекции вектора ускорения на оси X и Y
, .
Обозначая орты осей X и Y через и соответственно, запишем выражения для векторов скорости и ускорения
,
.
Модули скорости и ускорения соответственно равны
,
.
г) Зная зависимости и (пункт а), исключим из них время и получим уравнение траектории шара
.
График функции x(y) схематично представлен на рис.4.
1.6*. Точка движется в плоскости XY по закону ; , где и - положительные постоянные. Найти:
а) уравнение траектории точки y(x);
б) скорость и ускорение точки, а также их модули в зависимости от t;
в) момент времени t0, когда угол между скоростью и ускорением равен .
Решение. а) По условию
,
.
Выразив из первого уравнения время и подставив его во второе уравнение, получим уравнение траектории точки
.
Полученное уравнение является уравнением параболы, обращённой ветвями вниз, так как коэффициент при x2 меньше нуля. График параболы представлен на рис.5.
б) Найдем проекции вектора ускорения на оси X и Y
, ;
, .
Обозначая орты осей X и Y через и соответственно, запишем выражения для векторов скорости и ускорения
,
.
Модули скорости и ускорения соответственно равны
,
.
в) Покажем на рисунке направления векторов и (рис.5). Для решения задачи удобно воспользоваться способом нахождения угла между скоростью и ускорением, рассмотренным в задаче 1.4. Согласно результату этой задачи
.
Из рисунка видно, что угол между скоростью и ускорением, может быть равен , только для точек параболы, координаты x которых, лежат правее ее вершины. Координату вершины параболы найдем из условия :
, откуда .
Согласно рисунку в области проекция скорости на ось Y отрицательна , поэтому
.
По условию угол , поэтому, подставив в последнее выражение , получим искомое время
.
1.7. Точка движется в плоскости XY по закону , , где A и – положительные постоянные. Найти:
а) уравнение траектории;
б) Скорость, ускорение и их модули в зависимости от времени;
в) путь S, проходимой точки за время .
Решение. а) Чтобы найти уравнение траектории, исключим время t из исходных уравнений x(t) и y(t):
,
.
,.
Уравнение траектории представляет собой окружность, центр которой имеет координаты (0,A). График функции y(x) в плоскости XY схематично изображен на рис.6.
б) Найдем проекции вектора ускорения на оси X и Y
, .
, .
Запишем выражения для векторов скорости и ускорения
,
.
Тогда модули скорости и ускорения будут соответственно равны
– const,
– const.
Согласно полученным результатам, модули скорости и ускорения постоянны. Это значит, что точка движется по окружности с постоянной скоростью, а ускорение является центростремительным ускорением, направленным к центру окружности.
в) Путь, пройденный телом, определяется из определения модуля скорости как
.
Итак, зная зависимость координат точки от времени, можно найти её скорость и ускорение. Эту же информацию можно получить, если известна траектория движения точки. Рассмотрим это на примере следующей задачи.
1.8. Частица движется с постоянной по модулю скоростью по плоской траектории , где . Найти скорость и ускорение частицы в точке x = 0.
Решение. Траектория движения частицы - парабола с вершиной в начале координат (рис.7).
Продифференцировав уравнение по времени, получим:
или ,
т.е. при x = 0.
Продифференцировав по времени , найдем проекцию вектора ускорения на ось Y
,
но , значит . Поэтому
.
Окончательно при x = 0:
, ;
, .
.