4.2. Момент інерції матеріальної точки і твердого тіла відносно нерухомої осі

Моментом інерції матеріальної точки відносно осі обертання, називається фізична величина, яка дорівнює добутку маси цієї точки на квадрат відстані до осі обертання:

, (4.5)

де – маса матеріальної точки;

– відстань до осі обертання.

Моментом інерції твердого тіла відносно осі обертання називають фізичну величину, яка дорівнює сумі добутків мас всіх матеріальних точок твердого тіла на квадрат їх відстаней до осі обертання (рис. 4.2)

, (4.6)

Рис. 4.2.

Якщо маса твердого тіла розподілена неперервно, то знак суми заміняють інтегралом

, (4.7)

Момент інерції в динаміці обертального руху відіграє таку ж роль, що й маса тіла в динаміці поступального руху. Точніше кажучи, момент інерції твердого тіла є мірою інертності цього тіла при обертальному русі.

Однак, є принципова різниця між інертностями поступального й обертального рухів. Якщо маса – внутрішня властивість тіла, яка не залежить від його руху, то момент інерції залежить від того, навколо якої осі тіло обертається.

Для різних осей обертання момент інерції одного і того ж тіла буде різний.

4.3. Моменти інерції найпростіших тіл: диск, стержень, куля. Теорема Штейнера

Розглянемо приклади розрахунку моментів інерції найпростіших тіл.

Момент інерції суцільного диска. Розглянемо обертання диска масою і радіусом відносно осі, яка проходить через центр мас диска, перпендикулярно до його площини, як це показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3.

Момент інерції заштрихованої частини диска з масою і радіусом у відповідності з (4.5) буде дорівнювати:

, (4.8)

Маса заштрихованої частини диска дорівнює:

. (4.9)

Елемент маси (4.9) підставимо у (4.8) і проінтегруємо по радіусу диска:

,

де – товщина диска; – густина речовини диска.

Таким чином, момент інерції диска відносно осі обертання, перпендикулярної до площини диска, дорівнює:

. (4.10)

Момент інерції стержня відносно осі обертання, яка проходить через кінець стержня, перпендикулярно до його довжини.

Маса стержня , а довжина (рис. 4.4).

Рис. 4.4.

Для знаходження моменту інерції стержня скористаємось формулою (4.8):

,

де – маса виділеного елемента;

– площа перерізу стержня;

– густина речовини стержня;

– довжина виділеного елемента стержня.

Інтегруючи цей вираз по довжині стержня, одержимо:

. (4.11)

Таким чином, величина моменту інерції стержня відносно осі, яка проходить через кінець стержня, перпендикулярно до його довжини, буде дорівнювати:

. (4.12)

Момент інерції стержня відносно осі, яка проходить через центр мас, перпендикулярно до його середини (рис. 4.5)

Рис. 4.5.

Момент інерції нескінченно малого елемента стержня відносно осі, що показана на рисунку, дорівнює:

,

де – маса виділеного елемента.

Тоді,

, (4.13)

Інтегруємо вираз (4.13) в межах від 0 до , подвоївши попередньо весь вираз (дві симетричні частини стержня):

.

Таким чином, момент інерції стержня відносно осі, яка проходить через його центр мас (рис. 4.5) дорівнює:

. (4.14)

Момент інерції тіла відносно довільної осі , дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно паралельної осі, що проходить через центр мас , і добутку маси цього тіла на квадрат відстані між паралельними осями (рис. 4.6):

, (4.15)

де – відстань між паралельними осями.

Вираз (4.15) є теоремою Штейнера.

Рис. 4.6.

Покажемо справедливість цієї теореми на прикладі розрахунку моментів інерції стержня, для якого (рис. 4.7).

Рис. 4.7.

Отже,

,

що підтверджується попереднім незалежним виведенням методом інтегрування.

Моменти інерції найпростіших тіл показані в таблиці 1.

Тіло	Вісь обертання	Момент інерції
Обруч, циліндр тонкості ниті		, , .
Диск, суцільний циліндр		, , .
Стержень		, .
Куля		.
Точкове тіло масою		.