3. Интегральное исчисление

3.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к решению обратной задачи: по данной функции найти такую функцию , производная которой была бы равна функции , т. е.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка

Определение. Если функция F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.

Восстановление функции по ее производной или отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Основные свойства неопределенного интеграла

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т. е.
Постоянный множитель можно вынести из – под знака интеграла, т. е. если k=const0, то

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно, т. е.

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование.

Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Вычислить интегралы: ; ; ;

Решение:

2. Метод подстановки.

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного, т. е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. В его основе лежит следующая теорема.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция , т. е. на Т определена сложная функция . Тогда если на множестве Х функция имеет первообразную , то справедлива формула