Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Системой счисления называется набор правил представления (изображения) и наименования чисел. Знаки, используемые для записи чисел, называют цифрами. Если значение, описываемое цифрой, зависит от ее положения в записи числа, система счисления называется позиционной. Положение цифры в записи числа в позиционной системе счисления называют разрядом.

Основание позиционной системы счисления — это множитель, который определяет изменение значения, описываемого цифрой, при переносе ее в следующий по старшинству разряд. Следующий по старшинству разряд располагается слева от данного.

Если основание системы счисления равно р, то систему счисления называют р-ичной (двоичной, троичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной и т. п.). Основание системы счисления совпадает с количеством разных цифр, используемых в ней для записи чисел.

В математике и в быту общепринята позиционная десятичная система счисления. Единица старшего разряда (например, в числе 10) соответствует десяти единицам младшего разряда. Запись чисел производится при помощи десяти разных цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

В системах счисления с основанием меньше десяти принято отбрасывать старшие цифры десятичной системы. Например, в системе счисления с основанием 7 используют цифры 0,1,2,3,4,5,6. Если основание системы счислёния больше десяти, недостаток цифр восполняют прописными буквами латинского алфавита. Например, в системе счисления с основанием 14 используют следующие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D. Цифры А, В, С, D соответствуют десятичным числам 10,11,12,13.

Так как знаки десятичной системы счисления общепринято использовать и в других системах счисления, основание часто указывают в виде нижнего индекса, например: 10₁₂, 3Е₁₆,145₆. В десятичной системе индекс обычно опускают.

Произнося вслух числа, записанные не в десятичной системе, цифры числа называют слева направо, не используя; слов «десять», «сто», «тысяча». Например, число 2117 произносят как «два — один — один семеричное», (но не «двести одиннадцать»). Точно так же поступают в случае дробей: 0,101₂ называют «ноль — запятая — один — ноль — один двоичное».

Развернутая форма записи числа

Запись произвольного целого числах вида (a_na_n-1a_n-2a_n-3..a₁a₀)_p в системе счисления с основанием р рассматривается как сокращенная запись вида:

х = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + a_n-2p^n-2 +...a₁p¹+a₀p⁰.

Запись такого вида называют развернутой формой записи. Например, десятичное число 21994 в развернутой форме может быть записано так:

21994 = 2·10⁴ + 1·10³ + 9·10² + 9·10¹ + 4 ·10⁰.

Если число не является целым, то первый разряд после запятой соответствует числителю дроби, знаменатель которой совпадает с основанием системы счисления. В развернутой форме число х вида (a_na_n-1a_n-2a_n-3…a₁a₀,a_-la_-2...a_-m)_p описывает многочлен:

x = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + a_n-2p^n-2 +...+a₁p¹+a₀p⁰ +a_-1p^-1 + + a_-mp^-m

Например, число 10,3810= 1·10¹ + 0·10⁰ + 3·10^-1 + 8·10^-2.

Перевод чисел между системами счисления

Обычно приходится преобразовывать числа из некоторой системы счисления в десятичную или, наоборот, из десятичной системы в систему с другим основанием.

При переводе целых чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему применяют развернутую форму записи, представляя основание системы счисления и все цифры в десятичной системе. Полученное выражение вычисляют по правилам десятичной арифметики. В результате получится запись заданного числа в десятичной системе счисления. Например:

3Е,С8₁₆ = 3·16¹+ 14·16⁰+ 12·16^-1 + 8·16^-2 = 48 + 14 + 0,75 + 0,03125 =

= 62,7812510.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием р можно выполнить так.

Запишем основание новой системы р в десятичной системе счисления. Все последующие действия будем выполнять в десятичной системе.

Разделим исходное целое число на р. Запишем частное и остаток. Полученное частное снова разделим на р. Выполнять деление, выписывая все остатки, будем до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Каждый остаток представим в системе счисления с основанием р как цифру. Запишем цифры остатки в порядке их получения справа налево, от младших разрядов к старшим. Нулевые остатки не отбрасываются, а также записываются.

Полученное число является записью заданного числа в системе счисления с основанием р.

Например, запишем число 284510 в шестнадцатеричной системе счисления.

2845 = 16·177+13(D);

177=16·11+1(1);

11 = 16·0+11(В).

Частное стало равным нулю. Результат получится, если выписать все остатки в порядке, обратном их получению: 284510=B1D₁₆.

Перевод дробных чисел.

Дробная часть числа переводится в систему счисления с основанием р отдельно от целой части. Для перевода целой части используется уже рассмотренный способ.

Дробная часть числа в исходном десятичном виде умножается на основание новой системы счисления р. Целая часть получившегося числа (в том числе 0) является очередной цифрой в записи дробной части числа в новой системе счисления. Затем она отбрасывается, а действие повторяется. Конечная десятичная дробь может оказаться в новой системе счисления бесконечной (периодической). В этом случае операцию заканчивают, когда достигнута требуемая точность или определен период дроби.

Например, переведем дробь 0,6875 в восьмеричную систему счисления. Получаем:

0,6875·8 = 5,5;

0,5·8 = 4;

Итак, 0,687510=0,54₈.

Теперь выполним преобразование исходной десятичной дроби в систему счисления с основанием 5.

0,6875·5 = 3,4375;

0,4375·5 = 2,1875;

0,1875·5 = 0,9375;

0,9375·5 = 4,6875;

Дробная часть числа повторилась, а значит, дальше будут получаться те же цифры в такой же последовательности. Итак, 0,687510=0,(3204)₅. В скобки заключен период дроби.

Преобразовать периодическую дробь из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления можно так. Сначала преобразуем в десятичную систему число с отброшенной периодической частью. Затем займемся периодом. Если длина периода m цифр и он начинается с позиции k после запятой, то периодическая часть числа записывается в виде обыкновенной дроби, числитель которой совпадает с периодом дроби, а знаменатель равен p^k-1(p^m - 1).

Например, преобразуем в десятичную систему число 0,2(41)5. Промежуточные вычисления удобно записывать, используя обыкновенные дроби в десятичной системе. В данном случае 0,2 = . Далее, 41₅=4·5+1 = 21₁₀. По ука­занному выше правилу k = 2 и m = 2, так что знаменатель обыкновенной дроби, соответствующей периодической части заданного числа, равен

5^2-1(5²-1)=120. Таким образом, заданное число равно

+ = + = = 0,57510.

Окончателльно будем иметь: 0,2(41)5 = 0,57510.