Занятие № 16. Прямая в пространстве.
16.1. Написать канонические уравнения прямой:
1) проходящей через две точки A(1,-1,3), B(2,1,-1),
2)
проходящей через точку A(3,1,2) и параллельной
вектору
.
16.2. Найти косинус угла между прямыми:
и
.
16.3.
Найти расстояние точки M(2,-1,3) до прямой
.
16.4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку Р(2, -5, 3)
и
параллельной прямой
.
16.5
Написать уравнения прямой
в канонической и параметрической
формах.
16.6. Даны вершины треугольника A(3,-1,-1), B(1,2,-7) и С(-5,14,-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.
16.7.
Составить уравнения прямой, которая
проходит через точку А(-1,-3,2) и пересекает
две прямые
;
.
16.8.
Исследовать взаимное расположение
прямых
и
.
Если прямые пересекаются, то определить
координаты их точки пересечения:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
.
16.9.
Доказать, что прямые
и
пересекаются,
и составить уравнение плоскости, которая
их содержит:
а)
,
;
б)
,
.
16.10.
Доказать, что прямые
и
скрещиваются.
Составить уравнения плоскостей, каждая
из которых содержит одну из этих прямых
и параллельна второй:
а)
,
;
б)
,
.
16.11.
Определить уравнение прямой, проходящей
через точку М, пересекающей прямую
и перпендикулярной к ней:)
а)
б)
16.12. Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения его высот:
а)
б)
,
Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
17.1. Найти точку пересечения прямой и плоскости
17.2.
Найти проекцию точки М(1,0,-1) на прямую
17.3.
Найти проекцию точки М(-1,-2,3) на прямую
.
17.4. Найти проекцию точки М(1,1,1) на прямую, проходящую через точки
А(2,5,-3) и В(3,-2,2).
17.5.
Найти проекцию точки М(5,2,-1) на плоскость
.
17.6.
Найти точку А,
симметричную точке В(2,-5,7) относительно
прямой, проходящей через точки
(5,
4, 6) и
(-2,
-17, -8).
17.7. Найти точку А, симметричную точке B(1,2,3) относительно прямой:
17.8.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку А(1, 1, 1) параллельно прямым
и
.
17.9.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через прямую
параллельно прямой
.
17.10.
Составить уравнение плоскости,
проходящей через прямую
и точку Р(0, 0, 0).
17.11.
Доказать, что прямые
и
лежат в одной плоскости и составить ее
уравнение.
17.12.
Найти уравнения прямой, проходящей
через точку М(3,-2,4) параллельно плоскости
и пересекающей прямую
.
17.13.
Написать канонические уравнения прямой,
образованной пересечением плоскости
с плоскостью Oyz.
17.14.
Найти расстояние между прямыми
и
.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через эти прямые.
Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
18.1. Определить тип поверхности второго порядка при различных значениях параметра k:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
18.2.
Составить уравнение сферы с центром в
точке А(1,1,1) и радиусом
.
18.3. Найти координаты центра А и радиус сферы R:
а)
;
б)
.
18.4. Найти координаты центра поверхности и вершин, ее полуоси и уравнения плоскостей симметрии, оси симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:
а)
;
б)
.
18.5. Определить тип поверхности:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
18.6. Определить тип поверхности:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.