- •Оглавление
- •Введение
- •1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Занятие № 5. Линейные пространства.
- •Занятие № 6. Евклидовы пространства.
- •Занятие № 7. Линейные операторы и матрицы.
- •Занятие № 10. Скалярное произведение векторов.
- •Занятие № 11. Векторное и смешанное произведение векторов.
- •Занятие № 12. Прямая на плоскости.
- •Занятие № 13. Кривые второго порядка.
- •Занятие № 14. Преобразование координат на плоскости. Приведение уравнений к каноническому виду.
- •Занятие № 15. Плоскость в пространстве.
- •Занятие № 16. Прямая в пространстве.
- •Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
- •2. Введение в математический анализ.
- •21.3. Доказать, что последовательность
- •4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Занятие № 46. Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.
- •Занятие № 47. Частные производные и дифференциалы.
- •Занятие № 48. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Занятие № 49. Производная по направлению. Градиент.
- •6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Занятие № 53. Двойные интегралы.
- •7. Ряды.
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •19.1. A); б); в); г). 19.2. А); б); в); г). 19.3. А) четная; б) общего вида; в) нечетная.
- •27.4. Касательная , нормаль . 27.5.
- •Рекомендуемая литература
8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Занятие № 61.
Уравнения с разделяющимися переменными.
61.1. Решить уравнения:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
61.2. Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Занятие № 62.
Однородные уравнения.
62.1. Решить уравнения:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
62.2. Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям:
а) ; б) .
Занятие № 63.
Линейные уравнения первого порядка.
63.1. Решить уравнения:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
63.2. Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям:
а) ; б) ; в) .
63.3. Решить уравнения Бернулли:
а) ; б) ; в) ; г) .
Занятие № 64.
Уравнения в полных дифференциалах и
не разрешенные относительно производной.
64.1. Решить уравнения в полных дифференциалах:
а) ; б) ;
в) ; г) .
64.2. Решить уравнения, не разрешенные относительно производной:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Занятие № 65.
Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами.
65.1. Решить однородные уравнения:
а) ; б) ; в) ; г) .
65.2. Решить неоднородные уравнения с правой частью специального вида:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) .
65.3. Решить уравнения методом вариации постоянных:
а) ; б) ; в) .
Занятие № 66.
Системы дифференциальных уравнений.
66.1. Решить системы уравнений:
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
и) к)
Ответы.
1.1. а) ; б) ; в) ; г) -41;
д) ; е) . 1.2. а) ; б) .
1.3. а) 1 ; б) 8ab ; в) 0 ; г) 19. 1.4. а) 1449 ; б) -16 ; в) 0 ; г) -3692. 1.5. а) ;
б) ; в) ; г) ; д) необратима;
е) .
2.1. а) 2; б) 3 ; в) 4 ; г) 4. 2.2. 4. 2.3. а) m=8, r=3; б) m=1, r=3. 2.4. а) ;
б) ; в) ;
г) .
3.1. а) ; б) ; в) .
3.2. а) ; б) . 3.3. а) Решение существует и единственное ; б) Решение отсутствует; в) Существует бесконечное множество решений .
4.1. а) ;
б) ;
в) ; г) Система несовместна;
д) ;
е) .
4.2. а) ; б) ;
в) .
4.3. а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) , система определенная. 4.4. а) ;
б) ; в) ; г) .
5.1. а) Да; б) Нет; в) Нет; д) Да. 5.2. а) 2; б) 4; в) 3. 5.3. . 5.4. . 5.5. . 5.6. .5.7. а) Размерность равна 3, базис образуют ; б) Размерность равна 3, базис образуют .
5.8. . 5.9. .
5.10. а) ; б) .
6.1. . 6.2. .
6.3. а) ; б) .
6.4. а) ; б)
6.5. а) ; б) ;
в) .
7.1. . 7.2. .7.3. . 7.4. .
7.5. а) , собственные векторы , собственные векторы ; б) , собственные векторы , собственные векторы ; в) , собственные векторы ; г) , собственные векторы , где и одновременно; , собственные векторы , где ; д) , собственные векторы . 8.1. а) ; б) .
8.2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
8.3. а) ; б) ;
в) .
9.11. . 9.12. . 9.13. . 9.14. .
9.15. . 9.16. нет. 9.17. а) нет; б) да. 9.18. А(0, 2, 9/5). 10.1. -1. 10.2. -4/9. 10.3. 0. 10.4. -4/5. 10.5. 2/3. 10.6. -13. 10.7. 45. 10.8. . 11.1. 24,5. 11.2. . 11.3. 1) ; 2) . 11.4. 1. 11.5. . 11.6. . 11.7. нет. 11.8. . 11.9. да. 11.10. -3. 11.11. 54. 11.12. , . 11.13. D1(0;-8;0); D2(0;-7;0). 12.1. -1,5. 12.2. 8x+12y+5=0. 12.3. 2x+3y-7=0. 12.4. -3x+5y-9=0. 12.5. A(2,1), B(4,2), C(1,8), D(-1,7). 12.6. =-4, d=4. 12.7. . 12.8. 4. 12.9. по одну. 12.10. AB: 4x+3y-8=0; AD: 3x-4y-6=0; BC: 3x-4y+19; CD: 4x+3y-33=0 или 4x+3y+17=0. 12.11. 20x-8y-9=0. 12.12. x+y-5=0. 12.13. а) 45 ; б) 60. 12.14. . 12.15. AB: x-y-7=0; CD: x+y-5=0; BE: 3x-y-13=0; CF: 5x+3y-19=0. 13.1. . 13.2. . 13.3. .
13.4. 1) ; 2) ; 3) ; 4). 13.5. 1) ; 2); 3) ; 4) ; 5); 6) ; 7) ; 8) или ; 9) . 13.6. . 13.7. 1) ; 2) ; 3) ; 4); 5) ; 6) . 13.8. . 13.9. . 13.10. 1) (1,0); 2) (0,2); 3) (-1,0); 4) (0,-1/2). 13.11. вершина т. О(4,3), фокус т. F(4, 23/8), ось x-4=0, директриса 8y-25=0. 14.1. 1) - окружность; 2) - гипербола; 3) - эллипс; 4) - парабола; 5) пара параллельных прямых; 6) мнимый эллипс. 14.2. 1) эллипс; 2) гипербола; 3) парабола; 4) пара параллельных прямых; 5) пара совпадающих прямых. 14.3. 1) эллипс; 2) пара пересекающихся прямых; 3) гипербола; 4) пара параллельных прямых; 5) гипербола. 14.4. . 14.5. . 15.1. x-2y+3z=0. 15.2. . 15.3. 2x+2y+z=0. 15.4. 10x+3y+16z-78=0. 15.5. x+y+z-4=0. 15.6. 2x-3y+4z=0. 15.7. 2. 15.8. x+y-z=4. 15.9. . 15.10. . 15.11. 4x+3y=0. 15.12. 4. 15.13. 2x-2y-z+12=0; 2x-2y-z-18=0. 16.1. 1) , 2) . 16.2. 11/26. 16.3. . 16.4. . 16.5. ; . 16.6. . 16.7. . 17.1. (1,2,3). 17.2. (48/19, -53/19, 70/19). 17.3. (-31/14; 27/14; 20/14). 17.4. (197/75, 46/75, 10/ 75) . 17.5. (1,4,-7). 17.6. (A(4,1,-3)). 17.7. (0,-3,-2). 17.8. 10x-21y+8z+3=0. 17.9. 13x-14y+11z+51=0. 17.10. 6x-4y+z=0. 17.11. -2x+16y+13z-31=0. 17.12. . 17.13. . 17.14. d=3, 2x+y+2z-8=0. 18.1. 1) при эллипсоид, при пустое множество; 2) при эллипсоид, при однополостной гиперболоид, при эллиптический цилиндр; 3) при двуполостной гиперболоид, при однополостной гиперболоид, при конус; 4) при эллиптический параболоид; при прямая; 5) при гиперболический цилиндр; при пара пересекающихся плоскостей. 18.2. . 18.3. 1) А(2,2,2), R=2; 2) А(-1,-2-3), R=. 18.4. 1) эллипсоид: центр О(-1,-1,-1), полуоси ,,, плоскости симметрии ; 2) двуполостной гиперболоид: центр О(-3,1,1), вершины А(-5,1,1),
В(-1,1,1), ось симметрии , плоскости симметрии . 18.5. 1) параболический цилиндр; 2) эллиптический параболоид; 3) эллиптический параболоид; 4) однополостной гиперболоид; 5) конус; 6) двуполостной гиперболоид; 7) гиперболический параболоид; 8) эллиптический цилиндр. 18.6. 1) эллипсоид; 2) конус; 3) параболический цилиндр; 4) эллиптический параболоид, 5) однополостной гиперболоид.