Часть 2. Математическая статистика

Таблица 2.1.

Точечные оценки основных параметров распределения

Оцениваемый параметр генеральной совокупности	Его выборочная точечная оценка
	По простой выборке x1 x2 … xi … xn n - объём выборки	По сгруппированным данным xi x1 x2 … xi … xl mi m1 m2 … mi … ml mi – частота встречаемости значения признака xi; - объём выборки
Генеральная средняя или математическое ожидание µ	Средняя арифметическая
	(2.0)	(2.0)
Генеральная дисперсия σ2 (математическое ожидание µ известно)	Выборочная дисперсия S2
	(2.0)	(2.0)
Генеральная дисперсия σ2	(2.0) или (2.7)	(2.0) или (2.8)
	Исправленная выборочная дисперсия
	(2.9)
Генеральное среднее квадратичное отклонение σ	Выборочное среднее квадратичное отклонение S
	(2.10)
Начальные моменты k-го порядка	(2.11)	(2.12)
Центральные моменты k-го порядка	(2.13)	(2.14)

Очевидно, что средняя арифметическая равна выборочному первому начальному моменту , а выборочная дисперсия – выборочному второму центральному моменту.

Связь между центральными и начальными моментами задается формулами:

μ₂^* = ν₂^* – (ν₁^*)²

μ₃^* = ν₃^* – 3ν₂^*ν₁^*– 2(ν₁^*)³

μ₄^* = ν₄^* – 4ν₃^*ν₁^*+ 6ν₂^*ν₁^*– 3(ν₁^*)⁴

Средняя арифметическая , вычисленная поn независимым наблюдениям над случайной величиной X, является состоятельной и несмещенной оценкой математическо­го ожидания μ=MX: . Если случайная величинаX распределена нормально с параметрами N(μ,σ), то оценка математического ожидания имеет минимальную дисперсию, т.е. является эффективной оценкой.

Оценка выборочной дисперсии является смещенной. Если математическое ожидание неизвестно, то несмещенной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия(2.9) (дробьназывают поправкой Бесселя).

Таблица 2.2.

Законы распределения выборочных характеристик

Статистика	Закон распределения статистики
(2.27)	стандартный (нормированный) нормальный закон распределения N (0,1)
(2.28)	распределение Стьюдента (t-распределение) с n-1 степенями свободы
(2.29)	стандартный (нормированный) нормальный закон распределения N (0,1)
(2.30)	распределение Стьюдента (t-распределение) с n-1 степенями свободы
(2.31)	χ2-распределение с n-1 степенями свободы

где – выборочная средняя арифметическая,

S - выборочное среднее квадратическое отклонение.

В случае двух независимых выборок из нормальных генеральных совокупностей X и Y с одинаковыми математическими ожиданиями μ_x=μ_y=μ и дисперсиями σ_x=σ_y=σ рассматриваются следующие статистики:

Продолжение таблицы 2.2.