Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен, так как
, (3.2.30)
а значит полученная дивергентная разностная схема (3.2.29), аппроксимирующая исходное дифференциальное уравнение (3.2.20), безусловно, устойчива и аппроксимирует его с первым порядком точности по времени и со вторым по координате.
Решение уравнения массопереноса (3.2.23) после его приведения к трехдиагональному виду (3.2.29) реализуется на основе метода прогонки. При этом искомая дискретная функция Nij+1 вычисляется по следующей рекуррентной формуле:
Nij+1 = Ei+1 Ni+1j+1 + Wi+1; i = N-1, . . . , 1, 0 , (3.2.31)
где прогоночные коэффициенты Ei+1 и Wi+1 определяются в прямом ходе i = 1, . . . , N-1:
; . (3.2.32)
Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
или N0j+1 = N1j+1. (3.2.33)
Совпадение рекуррентного соотношения при i = 0 с выражением (3.2.33) выполняется только при следующих условиях:
E1 = 1 и W1 = 0. (3.2.34)
Правое граничное условие используется для начала обратного хода i = N-1, . . . , 1, 0 по формуле (3.2.35), в результате которой вычисляются искомые концентрации
, (3.2.35)
где Nтузj+1 - для первого этапа прерванного посола, определяется выражением (3.2.23), полученным на основе закона сохранения массы переносимой соли NaCl. Решая совместно систему уравнений, образованную из соотношений (3.2.21) при i = N – 1 и (3.2.32), определяем значения концентраций соли NaCl на правой границе счетной области и следующим временном слое:
. (3.2.36)
На втором этапе посола внешние воздействия соли NaCl на рыбу прекращаются, и на правой границе счетной области реализуется условие (3.2.3), для которого, следуя вышеизложенной методике, определяется значение NNj+1 по формуле:
. (3.2.37)
Приведенный алгоритм легко реализуется на любом алгоритмическом языке и является счетно - устойчивым, наиболее эффективным и экономичным методом решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа.
Проведенные численные эксперименты по данной методике указывают на хорошее согласование рассчитанных значений концентраций хлористого натрия с их экспериментальными значениями.
Для сопоставления рассчитанных значений концентраций соли NaCl c их соответственными экспериментальными значениями проводились следующие вычислительные эксперименты. Начальное значение концентрации соли в тузлуке задавалось равным 20%. При достижении среднего значения концентрации соли по тушке рыбы, равного 4,7%, процесс посола рыбы прекращался (прерванный посол), а далее реализовался второй этап посола - свободное перераспределение соли вдоль толщи тушки рыбы без внешнего воздействия раствора соли. В качестве исходного сырья было выбрано филе мяса салаки толщиной 0,6 см. Коэффициент диффузии задавался равным 0,1см2/сут. Весь процесс прерванной засолки занимал 6 ч.
На рис. 3.14 приведены расчетные кривые зависимости концентрации соли NaCl в тканях рыбы от координаты Х от центра тушки рыбы по ее толще, для шести моментов времени 0 2,7 ч, 3 11ч , 6 19,2ч, 9 27,4ч, полученные на основе алгоритма численного решения дифференциального уравнения (3.2.20), приведенного выше.
Р
ис.
3.14. Зависимость концентрации соли NaCl
в тканях рыбы от координаты Х
Пространственные профили концентраций соли имеют явно экспоненциальную зависимость. При этом наибольшие пространственные градиенты концентраций возникают в первые моменты времени (см. рис. 3.14). Также необходимо отметить, что градиенты концентраций возрастают от нуля в центре симметрии пластины
до 7 %/см (см. рис. 3.14).
.
Рис. 3.15. Зависимость концентрации соли NaCl в тканях рыбы от времени
На рис. 3.15 приведена временная разверстка концентраций для пяти значений координаты Х: 0 0 см; 4 4,4 см; 5 5,8 см; 7 8,0 см; 9 10,0 см. Зависимость концентраций от времени на каждом пространственном уровне имеет экспоненциальный вид и скорость возрастания практически постоянна для каждого из приведенных уровней, что также следует из теоретических предпосылок.
Задание. Провести численное исследование процесса массопереноса соли NaCl на основе параболического дифференциального уравнения (3.2.20), для начальных значений концентрации соли в тузлуке N(0,x)туз, коэффициента диффузии соли в рыбе D, α - коэффициента, связанного с плотностью и удельной теплоемкостью при постоянном объеме тканей рыбы (3.2.24), см-1 и толщине залитого слоя тузлука hтуз, при заданной толщине филе салаки hрыб = 1см (выбирать вариант по последней цифре зачетной книжки см. табл. 3.4).
Таблица 3.7
-
Номер пос-ледней циф-ры зачетной книжки
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
N(0,x)туз,%
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
D,см2/сут
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,11
0.12
0,13
0,13
0,14
α,см-1
212
210
205
200
195
190
185
180
175
222
hтуз,см
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0,9
0,8
0,7
0,5