- •Оглавление
- •Введение
- •1. Программирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.1.2. Справочный материал.
- •1.1.5. Вопросы для самопроверки
- •1.2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •1.2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •1.3.4. Задания к лабораторной работе.
- •Определённые циклы. Суммирование членов функционального ряда
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •1.4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Файлы прямого и последовательного доступа
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •1.6.5. Вопросы для самопроверки
- •1.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Формирование и обработка одномерных массивов
- •1.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Формирование двумерных массивов и выполнение операций с матричными элементами
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •1.9.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование сложных программ с использованием подпрограмм
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •1.10.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование цепочек текстовых переменных
- •1.11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2.1.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •2.2.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •2.3.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •2.4.3. Пример.
- •2.4.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •2.5.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итераЦиЙ
- •2.6.3. Пример.
- •2.6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симпсона
- •2.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •2.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы тел сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа № 3.2 исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа № 3.3 решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен, так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.2.45) дополнялась начальными и граничными условиями (3.2.40 – 3.2.44) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2. Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5. Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
2.6.5. Вопросы для самопроверки
1. Каково условие сходимости итерационного процесса в векторном виде?
2. Запишите условие сходимости итерационного процесса в координатном виде.
3. К чему сводится условие локализации корня и зачем оно нужно?
Лабораторная работа № 2.7 (С:\USERS\GROUP\NOF\lab7.mcd)
Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симпсона
2.7.1. Цель работы. Получение практических навыков алгоритмизации и программирования приближенного вычисления определенных интегралов с применением шаблонов определенных интегралов и сумм.
2.7.2. Справочный материал. Пусть подынтегральная функция f(x) определена на отрезке [a,b], разобьем его на N равных частей, т. е. введем равномерную пространственную сетку
a = x0 < x1 < x2 < …< xN-1 < xN = b, (2.7.1)
где N+1- число пространственных узлов; xi = i h; h = (b - a) / N; i = 0, 1,…, N.
На отрезке [a,b] определенный интеграл, геометрический смысл которого – площадь фигуры ограниченной кривой f(x) и прямыми У = 0, Х = а, Х = b, приближенно можно вычислить по ряду формул, которые аппроксимируют определенный интеграл с различной точностью. Так, например, простейшая формула прямоугольников, в основе которой лежит аппроксимация всей площади фигуры площадями элементарных прямоугольников f(a)·h, f(x1)·h, … , f(xN-1)·h, имеет первый порядок точности 0(h)
или . (2.7.2)
Формула трапеций, основанная на площадях элементарных трапеций (f(a)+f(x1))/2·h, (f(x1)+f(x2))/2·h, … , (f(xN-1)+f(b))/2·h, имеет второй порядок точности 0(h2)
. (2.7.3)
Формула Симпсона аппроксимирует определенный интеграл с третьим порядком точности 0(h3)
. (2.7.4)
Формула Симпсона (2.7.4) получается если подынтегральную функцию f(x) на паре элементарных интервалов [xi-1,xi+1] аппроксимировать параболой.
Точность полученного значения определяется числом элементарных площадок Si, т.е. числом узлов сетки.
2.7.3. В качестве примера возьмем подынтегральную функцию вида:
, на отрезке [0,8; 1,4].
Для уточнения эффективности методов прямоугольника и трапеции зададимся точностью вычисления определенного интеграла, равной δ = 1%, в зависимости от числа узлов разностной сетки
Итак, для метода прямоугольника отрезок [a,b] пришлось разбить на 110 частей, чтобы вычислить определенный интеграл с точностью 1%, а в методе трапеций потребовалось разбить всего на шесть частей.
2.7.4. Задание. Приводим варианты заданий для приближенного вычисления интегралов.