2.7. Физические приложения векторной алгебры

Векторное исчисление очень быстро получило широкое распространение в математических и физических исследованиях. Этим оно обязано, главным образом, следующим обстоятельствам. Во-первых, векторное исчисление часто значительно сокращает вычисления, во-вторых, позволяет выразить связь между различными физическими величинами непосредственно, не прибегая к вспомогательной надстройке в виде системы координат. Так, например, более наглядными в векторном изложении становятся многие вопросы статики и почти вся кинематика твердого тела.

В данном пункте будут рассмотрены некоторые задачи на использование в физике линейных операций над векторами, формулы деления отрезка в данном отношении, специальных произведений векторов, понятия базиса векторного пространства, изоморфизма пространств и т.д. Среди этих задач много задач из курса теоретической механики.

Прежде чем приступить к решению задач, сделаем небольшое отступление, касающееся задачи разложения векторов по заданным направлениям. Разложение вектора на составляющие – один из основных приемов решения задач в курсах «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов» и других.

Отметим, что если требуется разложить вектор, заданный координатами, по двум или трем векторам, также заданным своими координатами, то задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Ниже будут решены базовые задачи, которые в дальнейшем неоднократно будут применяться при решении прикладных задач.

40. Разложить вектор по двум ортогональным векторам и

Решение. Разложить вектор по векторам и  – это значит представить в виде (рис. 1).

Поскольку векторы и заданы, то используя их, требуется найти коэффициенты и Для этого скалярно умножим равенство на векторы и Соответственно получим: и Отсюда находим:

41. Даны два вектора и Представить в виде суммы двух векторов и так, чтобы был коллинеарен а вектор ортогонален

Решение. Пусть где а Так как то (рис. 2). Тогда Чтобы найти умножим скалярно это равенство на вектор и получим: Так как то и Тогда

В этом случае , а

Рис. 1	Рис. 2

42. Найти вектор, который равен ортогональной проекции вектора на прямую с направляющим вектором

43. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией вектора на плоскость, перпендикулярную к вектору

Указание. Для решения задачи нужно разложить вектор в сумму двух векторов и таких, что коллинеарен то есть а вектор ортогонален Для отыскания это равенство надо умножить скалярно на вектор

44. Найти коэффициенты разложения вектора по трем некомпланарным векторам , и

Решение. а) Если все векторы заданы своими координатами, то решение сводится к решению системы линейных уравнений, векторная запись которой имеет вид

(1)

б) Коэффициенты уравнения (1) можно выразить через известные векторы и не решая системы. Для этого уравнение (1) надо последовательно умножить скалярно на векторные произведения Так как смешанное произведение трех компланарных векторов равно то при умножении на вектор получим уравнение Отсюда Умножая (1) на и получим соответственно уравнения и Из них выражаем и Таким образом, разложение вектора по векторам и определяется следующим образом: