- •Математика для студентов в задачах и упражнениях по физике
- •1. Системы линейных уравнений
- •1.3.2. Комментарии к методу Жордана – Гаусса
- •1.4. Однородная система линейных уравнений
- •1.5. Применение теории систем линейных уравнений
- •1.5.1. Применение в аналитической геометрии
- •1.5.2. Расчет электрических цепей
- •1.5.3. Расчет потоков транспорта на развилках дорог
- •1.5.4. Описание системы сил, действующих на упругую статическую систему s закрепленную на краях
- •1.5.5. Применение метода наименьших квадратов для обработки результатов измерений
- •1.6. Учебная литература
- •2. Векторная алгебра и её приложения
- •2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
- •2.2. Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов
- •2.3. Понятие системы координат. Координаты точки
- •2.4. Задачи и упражнения
- •2.7. Физические приложения векторной алгебры
- •2.7.1. Равнодействующая сил. Теорема сложения скоростей
- •2.7.2. Простейшие задачи статики
- •2.7.3. Центр масс системы материальных точек
- •2.7.4. Вычисление работы, моментов инерции и угловых скоростей
- •2.7.5. Уравнение траектории движущейся точки
- •2.8. Учебная литература
- •3. Векторное описание канала связи
- •3.1. Построение ансамбля сигналов размерности 2
- •3.2. Построение многомерных сигналов
- •3.3. Процедура детектирования сигналов
- •4. Векторный анализ
- •4.1. Криволинейные интегралы и их физические приложения
- •4.1.1 Криволинейный интеграл I рода от скалярной функции вдоль кривой
- •4.1.2. Физические приложения криволинейного интеграла I рода
- •4.1.3. Криволинейный интеграл II рода
- •4.1.4. Физические приложения криволинейного интеграла II рода
- •4.2. Поверхностные интегралы и их физические приложения
- •4.2.1. Поверхностный интеграл I рода
- •4.2.2. Физические приложения поверхностного интеграла I рода
- •4.2.3. Поверхностный интеграл II рода
- •4.2.4. Физические приложения поверхностного интеграла II рода
- •4.3. Некоторые соотношения между характеристиками скалярных и векторных полей
- •4.3.1. Основные характеристики полей
- •4.3.2. Специальные виды векторных полей – потенциальное и соленоидальное
- •4.3.3. Некоторые физические задачи из теории поля
- •4.4. Учебная литература
- •Ответы и указания Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Содержание
- •1. Системы линейных уравнений 5
- •2. Векторная алгебра и её приложения 30
- •3. Векторное описание канала связи 75
- •4. Векторный анализ 91
- •Математика для студентов в задачах и упражнениях по физике
- •150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
4.1.4. Физические приложения криволинейного интеграла II рода
а) Вычисление работы силы при перемещении материальной из точки А массы 1 в точку В вдоль дуги кривой (если – плоское), (если – пространственная кривая).
б) Если – скорость плоского потока жидкости в точке то количество жидкости, вытекающей за единицу времени из области равно где – единичный вектор к внешней нормали к кривой в точке Если направление касательного вектора к соответствует положительному направлению обхода кривой и то и
в) Вычисление магнитной индукции магнитного поля, создаваемого током протекающим по замкнутому проводнику в точке ([5 с. 144–145]).
Задача 18. Вычислить работу силового поля вдоль дуги эллипса обходя контур против часовой стрелки.
Решение. поэтому
Ответ: 0. На самом деле, это верно для любого гладкого замкнутого контура
Задача 19. Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль дуги из точки до точки Как изменится ответ, если – отрезок
Решение. Параметризуем поэтому
Ответ:
Пусть , тогда
Задача 20. Найти циркуляцию векторного поля вдоль
Решение:
4.2. Поверхностные интегралы и их физические приложения
4.2.1. Поверхностный интеграл I рода
Замечание. Если то – площадь поверхности
Более точные определения можно найти, например, в [5, с. 160–168].
Задача 21. Вычислить площадь гиперболического параболоида вырезанного цилиндром
Решение: Перейдём к полярным координатам в плоскости Тогда
4.2.2. Физические приложения поверхностного интеграла I рода
Если – плотность материальной поверхности, то с помощью поверхностных интегралов I рода вычисляются следующие физические величины:
а) – масса поверхности
b) – статический момент поверхности относительно плоскости Аналогично определены моменты и
c) Координаты центра масс поверхности:
d) – момент инерции поверхности относительно оси
e) – момент инерции поверхности относительно плоскости
f) - момент инерции поверхности относительно начала координат.
Задача 22. Для гиперболического параболоида вырезанного цилиндром найти все параметры, перечисленные в пунктах a) – c), и найти и из d) – f) соответственно.
Решение: a) масса куска поверхности – плотность:
что следует из решения задачи 21.
b)
Вновь перейдем к полярным координатам :
Тогда
ибо
Отсюда следует, что центр масс поверхности находится в точке
d)
e)
f) .
Каждое из слагаемых нами уже найдено в пунктах d) и e) соответственно.
Задача 23. Найти значение параметров и пунктов a) – f), для однородной полусферы плотности
Задачи для самостоятельного решения: [5, с. 172–173; 4, с. 158].
4.2.3. Поверхностный интеграл II рода
Способы вычисления потока векторного поля зависят от задания поверхности Возможный три случая.
1) В этом случает поверхность однозначно проектируется на плоскость и
Здесь – угол между и Нормаль находится по формуле: причем знак “+” выбирается в том случае, если нормаль и образуют острый угол, в противном случае – “–”.
Задача 24: 1. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону поверхности , ограниченную
Рис. 1
Решение. Здесь поэтому
т.к. следовательно
Поэтому
И, следовательно ибо – четверть круга радиуса
2) Поверхность задана неявным уравнением
В этой ситуации вектор нормали может быть вычислен по формуле:
Здесь Выбор знака в выражении для вектора нормали осуществляется в соответствии со стороной поверхности
Задача 25. Найти поток П векторного поля через сферу в направлении внешней нормали Т.к. в точке вектор то
Замечание. Для замкнутой поверхности имеет место формулы Остроградского – Гаусса: Здесь – трёхмерное тело, границей которого служит Итак, поток П для предыдущего примера:
c) Поверхность биективно проектируется на все три координатные плоскости: области – суть проекции поверхности на плоскости (Oxy), (Oxz) и (Oyz), соответственно. В такой ситуации
,
здесь знаки перед первым, вторым и третьим интегралом равны соответственно знакам скалярных произведения и или, что равносильно, знакам чисел и . Соответственно: .
Задача 26. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части сферы расположенную в 1-м октанте.
Здесь причем , поэтому
Задачи для самостоятельного решения: [5, с. 180–181; 10, с. 64, 69; 4, с. 164–165].
Задача 27. Найти поток П векторного поля через часть параболоида отсеченную плоскостью в направлении к внешней по отношению к параболоиду нормали.
Решение:
=> берём “–” т.е.: поэтому Перейдём к полярным координатам
Задача 28. Найти поток П векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали
Рис. 2
Проекция на плоскость (Oyz) поверхности – полукруг (см. рис. 3).
Рис. 3
– полукруг
Найдем
и т.к. , то берём с “+”! => ;
Найдём Проекция поверхности на плоскость Оyz-полукруг
Рис. 4
Найдем . Поскольку , то поэтому А поскольку , то
Поэтому
С другой стороны, поскольку поверхность замкнута, то можно применить теорему Остроградского – Гаусса.
Опишем поэтому
Задача 29. Найти поток П векторного поля через часть поверхности расположенную в 1-м октанте. Нормаль к ней образует острый угол с осью
Решение.
Итак, Поскольку и то Π=+ + = +2 + 2. Поскольку то
+
При вычислении интегралов были сделаны следующие замены:
Другой способ. Замкнем поверхность до поверхности пирамиды: По теореме Остроградского – Гаусса
ибо
Π3== ибо х = 0.
Поэтому