2.7.3. Центр масс системы материальных точек

Пусть дана система материальных точек в которых сосредоточены массы соответственно, то есть имеется набор пар где  – точка, а  – положительное число. Центром масс системы точек с массами в них называется точка для которой выполняется условие

Основные свойства центра масс

1. Для любой системы точек центр масс существует, причем только один.

Доказательство опирается на следующий геометрический факт. Пусть и – любые две точки пространства. Тогда

Отсюда следует, что точка является центром масс системы точек тогда и только тогда, когда и, следовательно,

.

Отсюда следует существование центра масс. Единственность такой точки доказывается методом от противного.

2. Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме их масс. Иначе это свойство можно сформулировать следующим образом. Центр масс системы точек с массами совпадает с центром масс двух точек – центра масспервой системы с массой и центра масс второй системы с массой

Свойство 2 является важнейшим свойством центра масс, на котором основаны почти все его применения.

3. Центр масс однородного стержня находится в его середине.

76. Докажите свойство 2 центра масс системы точек.

77. Докажите, что центр масс точек и с массами и лежит на отрезке и делит его в отношении

78. В трех точках помещены грузы соответственно с массами в 60, 100 и 40 г. Определите центр масс этой системы.

79. Центроидом системы точек называется центр масс системы материальных точек в которых сосредоточены равные друг другу массы Выведите формулу для вычисления радиус-вектора центроида данной системы точек через радиус-векторы этих точек и, пользуясь этой формулой, покажите, что:

а) центроид системы точек не зависит от величины массы

в) центроид системы двух различных точек есть середина отрезка

с) если  – центроид системы точек а  – центроид системы точек то центроид всех точек лежит на отрезке и делит этот отрезок в отношении

80. Центр масс прямого однородного стержня находится в точке Один его конец совпадает с точкой Определите положение другого конца.

81. Стержень длиной в 60 см подвешен на двух веревках. Одна из этих веревок не может выдержать натяжения превышающего 20 кг. На каком расстоянии от соответствующего конца стержня можно прикрепить к нему груз в 96 кг.

82. Горизонтальная балка длиной в 3 м и массой в 80 кг свободно лежит своими концами на двух неподвижных опорах А и В. На каком расстоянии от конца А нужно поместить груз в 200 кг, чтобы давление на опору В было равно 110 кг.

83. Как выражаются координаты центра масс треугольника через координаты его вершин?

84. Центр масс треугольника совпадает с началом координат: одна из вершин его лежит на оси абсцисс на расстоянии а от начала координат; вторая вершина лежит на оси ординат на расстоянии в от начала координат. Найдите координаты третьей вершины.

85. Однородная проволока согнута в виде прямого угла со сторонами а и b. Найти центр масс этой проволоки.

86. Найдите центр масс проволочного треугольника, зная, что вершины его находятся в точках А,В,С, а длины сторон равны соответственно.

87. Однородный стержень изогнут в виде треугольника, вершины которого находятся в точках Определите координаты центра масс этого треугольника.

88. Найти центр масс четырехугольной однородной доски, зная, что углы доски находятся в точках

89. Определите центр масс симметричной стержневой фермы ADBC (рис. 26), у которой (масса одного погонного метра каждого стержня одна и та же).

90. Найдите положение центра масс фигуры, размеры и форма которой даны на рис. 27, приняв за полюс точку А.

Рис. 26	Рис. 27

91. Найти положение центра масс плоской стержневой фермы состоящей из пяти стержней (рис. 28), если

Рис.28	Рис.29

92. Найти положение центра масс плоской стержневой фермы состоящей из семи одинаковых стержней, каждый из которых имеет длину а и массу р (рис. 29).

93. На двух смежных сторонах квадрата ABCD вне его построены равнобедренные прямоугольные треугольники ВНС и CED (рис. 29). Найти центр масс полученной пятиугольной фигуры если сторона квадрата равна а.

94. Из плоской квадратной пластины ABCD со стороной а вырезан прямоугольный треугольник AВЕ с углом АВЕ, равным 60⁰. Найти положение центра масс пятиугольника AЕВCD.

95. Доказать, что центр масс стержневого правильного тетраэдра совпадает с центроидом вершин тетраэдра.