Пример 2

Рис. 4.25. Эпюры моментов: а – от заданной нагрузки;

б – от единичной обобщенной силы,

соответствующей углу поворота сечения А;

в – от единичной обобщенной силы,

соответствующей прогибу в точке D

Условие задачи

Определим угол поворота сечения А и прогиб сечения D в балке, показанной на рис. 4.21, а, методом Максвелла – Мора с использованием правила Верещагина (перемножением эпюр). Ранее эти перемещения были найдены аналитическим методом, сравним результаты, полученные двумя способами.

Решение

Построим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки (рис. 4.25, а) и от единичных обобщенных сил, соответствующих искомым перемещениям (рис. 4.25, б, в). Разобьем эпюру моментов от заданной нагрузки на три треугольника и найдем их площади:

кН·м²; кН·м²; кН·м².

Для определения угла поворота сечения А перемножим эпюры М и М₁. Для этого найдем ординаты на эпюре М₁, расположенные под центрами тяжести треугольников:

; ; .

Тогда угол поворота сечения А согласно формуле (4.22)

.

Положительный знак угла поворота показывает, что поворот сечения А происходит по направлению обобщенной силы, то есть в соответствии с показанной на рис. 4.25, б единичной парой сил по ходу часовой стрелки. Результат совпадает с полученным ранее аналитическим способом.

Чтобы найти прогиб сечения D, используем при перемножении эпюру М₂. Ординаты на эпюре М₂ под центрами тяжести треугольников будут такими:

м; м; м.

Найдем прогиб сечения D по формуле (4.22):

.

Прогиб сечения D получился положительным. Это означает, что точка D перемещается по направлению единичной силы. Поскольку единичная сила показана на рис. 4.25, в направленной вниз, то и перемещение точки D происходит вниз. Полученный результат совпадает с тем, который был получен ранее аналитическим способом.

4.2. Расчет статически определимых рам

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 2 (§ 2.6), гл. 8 (§ 8.9).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 11 (§ 11.4, 11.5).

Основные определения

Статически определимая рама – конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, закрепленных так, что опорные реакции и внутренние усилия можно найти с помощью уравнений статики. Чаще всего стержни рамы соединены между собой жестким образом, так, что в процессе деформации угол между стержнями не меняется. Мы будем рассматривать только плоские рамы, стержни которых расположены под углом 90°. Вертикальные стержни рамы принято называть стойками, горизонтальные – ригелями. В стержнях плоских рам возникают три внутренних усилия: продольная и поперечная силы и изгибающий момент.

Внутренние усилия в рамах определяются методом сечений, и порядок их нахождения тот же, что и для балок. Напомним, что согласно методу сечений:

• продольная сила N равна сумме проекций всех сил, действующих с одной стороны от сечения, на ось стержня;

• поперечная сила Q равна сумме проекций всех сил, действующих с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня;

• изгибающий момент M равен сумме моментов всех сил, действующих с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения.

Правила знаков для продольной и поперечной сил те же, что и раньше: растягивающая продольная сила положительна, поперечная сила положительна, если она обходит сечение по ходу часовой стрелки. Правило знаков для изгибающего момента в рамах следующее: момент считается положительным, если он изгибает стержень рамы выпуклостью вовнутрь¹⁰. На эпюрах N и Q положительные значения принято откладывать снаружи, на эпюре М – внутри – со стороны растянутых волокон.

От действия трех внутренних усилий в стержнях рамы возникают напряжения: нормальные и касательные. Нормальные напряжения определяются как сумма напряжений от продольной силы () и от изгибающего момента по формуле (4.1). Касательные напряжения находят по формуле Журавского (4.2).

Перемещения точек оси рамы определяются, как правило, методом Максвелла – Мора по формуле (4.21). Заметим, что произвольная точка оси рамы в отличие от точки оси балки может перемещаться не только по вертикали, но и по горизонтали. Будем обозначать линейные перемещения точек оси рамы буквой , отмечая направление перемещения индексом сверху: ^верти ^гор. Углы поворота сечений рамы, как и балок, обозначаем буквой .

Примеры решения задач

4.2.1. Определение внутренних усилий в рамах

(задачи № 21, 22)

Условие задачи

Рассмотрим раму, показанную на рис. 4.26, и определим в ней внутренние усилия, то есть построим эпюры N, Q и М.

Решение

Найдем три опорные реакции, используя три уравнения статики. Желательно составлять такие уравнения, чтобы в каждое из них входила бы только одна неизвестная реакция. В данном примере это такие уравнения (предполагаемые направления реакций показаны на рис. 4.27, а):

Рис. 4.26. Схема рамы

с нагрузками

; ; кН;

проекций сил на вертикальную ось равна 0; ; кН;

; ; кН.

Для проверки используем уравнение "сумма проекций сил на горизонталь- ную ось равна нулю":

.

Рис. 4.27. Определение внутренних усилий в раме:

а – схема рамы с нагрузками; б, в, г – эпюры внутренних усилий

Находим внутренние усилия, используя метод сечений. Рама имеет три участка. Заметим, что если для балки границей между участками считалось сечение, где появлялся новый силовой фактор, то для рам границей между участками является также и узел, где соединяются соседние стержни рамы (стойка и ригель). Рассечем стержни рамы на трех участках и выберем начало отсчета х на каждом участке (удобно начало отсчета выбирать в начале участка – рис. 4.27, а). Запишем выражения для продольной, поперечной сил и изгибающего момента на каждом участке, используя вышеприведенные определения этих усилий и правила знаков для них:

участок 1: м;

кН;

;

;

участок 2: м;

кН;

кН;

;

участок 3: м;

кН;

кН;

.

Строим эпюры усилий, используя написанные выражения (рис. 4.27, б, в, г). Значение максимального момента определяем так же, как в балках.

Рис. 4.28. Проверка равновесия узлов

П роверку правильности построения эпюр в рамах производим, проверяя равновесие узлов. Для этого вырезаем узлы (в рассматриваемой раме их два: D и E) и прикладываем к сечениям, примыкающим к узлам, все внутренние усилия согласно построенным эпюрам. Направление усилий должно соответствовать их знакам. На рис. 4.28 показаны вырезанные из рамы узлы D и E вместе с действующими в сечениях, примыкающих к узлам, внутренними усилиями. Видно, что узлы находятся в равновесии. Из условия равновесия узлов следует, что, если в узле не приложена внешняя пара сил (узел D), то изгибающие моменты в сечениях, примыкающих к узлу, обязательно одинаковы. То есть, зная изгибающий момент в угловой точке для стойки, можно получить графически ординату М в угловой точке для ригеля, проведя циркулем дугу из вершины угла, как из центра. Если в узле действует сосредоточенная пара сил, то значения изгибающих моментов в примыкающих сечениях отличаются на величину этой пары.