У порiвняльному аналiзi застосовують кратнi спiввiдношення не лише абсолютних, а й відносних і середніх величин.

Середня величина  це узагальнююча міра варіювальної ознаки, що характеризує її рівень в розрахунку на одиницю сукупності. Умовами застосування середніх величин є наявність якісно однорідної сукупності та достатньо великий її обсяг.

У статистичній практиці використовують кілька видів середніх: середню арифметичну, середню гармонічну, середню геометричну, середню квадратичну і т. ін. Кожна із зазначених середніх може набирати двох форм: простої і зваженої. Проста застосовується в разі обчислення середньої за первинними (незгрупованими) даними, а зважена — за вторинними (згрупованими) даними.

Використання того чи іншого виду середніх залежить від двох обставин. По-перше, від характеру індивідуальних значень ознаки (прямі, обернені, квадратичні, відносні). По-друге, від характеру алгебраїчного зв’язку між індивідуальними значеннями ознаки та її загальним обсягом (сума, добуток, степінь, квадратичний корінь). Цей зв’язок є визначальною властивістю сукупності і відбивається в логічній формулі осе­реднювальної ознаки. На підставі логічної формули обирається вид середньої.

Середня арифметична застосовується для осереднення прямих значень ознак їх підсумуванням. Логічна формула середньої арифметичної має вигляд:

.

Чисельник цієї формули середньої являє собою визначальну властивість, яка є реальною абсолютною чи відносною величиною і має самостійне значення в аналізі.

Якщо дані не згруповані, використовується середня арифметична проста

,

де x — окремі значення ознаки; n — обсяг сукупності.

За формулою середньої арифметичної простої обчислюються також середні у хронологічному ряду, якщо інтервали часу, за який подаються значення ознак, рівні.

Якщо у хронологічному ряду наведено моментні показники, то для обчислення середньої вони замінюються півсумами значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більш ніж два і інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної:

де n  кількість моментів.

У великих за обсягом сукупностях окремі значення ознаки — варіанти можуть повторюватись. У такому разі їх можна об’єд­нати у групи (j = 1, 2,..., m), а обсяг значень ознаки визначити як суму добутків варіант х_j на відповідні їм частоти f_j, тобто як . Такий процес множення у статистиці називають зважуванням, а кількість елементів сукупності з однаковими варіантами — вагами. Значення ознаки осереднюються за формулою середньої арифметичної зваженої

.

Вагами можуть бути частоти або частки (відносні величини структури) d_j:

.

У структурованій сукупності під час розрахунку середньої зваженої варіантами можуть бути як окремі значення ознаки, так і групові середні , кожна з яких має відповідну вагу у вигляді групових частот f_j:

Обчислену так середню називають загальною.

Вагою може бути також абсолютна величина, яка логічно пов’язана з осереднюваним показником. Ваги вибирають за допомогою логічної формули показника. Оскільки середня величина обчислюється з розрахунку на одиницю сукупності, то вага завжди міститься у знаменнику логічної формули. Наприклад, у разі визначення середньої ціни акції вагою буде кількість акцій. Коли обчислюють середню кількість акцій в розрахунку на одну угоду, вагою буде кількість угод.

Користуються таким практичним правилом: за наявності інформації про значення знаменника логічної формули (ваги) застовується середня арифметична зважена. За відсутності даних про ваги беруть середню гармонічну зважену.

Середня гармонічна застосовується для обчислення середньої з обернених показників їх підсумуванням. Для незгрупованих даних береться середня гармонічна проста

.

Якщо дані згруповані, то використовується середня гармонічна зважена

,

де z_j = x_j f_j — обсяг значень ознаки.

Середню можна обчислювати також тоді, коли окремі значення варіантів не зазначені, а відомі лише підсумки (сумарні значення чисельника та знаменника) логічної формули. Так, у наведеному щойно прикладі середню ціну акції можна обчислити, поділивши загальну вартість проданих акцій на їх сумарну кількість.

Середня геометрична визначається як добуток відносних величин динаміки x_і, що є кратним відношенням i-го значення показника до попереднього (i – 1)-го. Формула середньої геометричної простої:

,

де П — символ добутку; x_i — відносні величини динаміки, виражені кратним відношенням і-го значення показника до попереднього (і – 1)-го.

Якщо часові інтервали різні, використовують середню геометричну зважену:

,

де n_j — часовий інтервал, .

Середня квадратична розглядається далі (тема 5) серед характеристик варіації.

[1, с. 15—23; 48—58; 2, с. 43—57; 4, с. 51—89; 5, с. 75—106]

Натуральні одиниці — характеризують обсяги та розміри фізичних властивостей явищ (т, км, шт.).

Умовно-натуральні одиниці — характеризують зведені воєдино обсяги явищ з різним проявом споживних властивостей (кілокалорії, декалітри).

Комбіновані одиниці — характеризують складні явища з кількома вимірниками (кіловат-години, тонно-кілометри і т. ін.).

Трудові одиниці — характеризують витрати праці або часу на виробництво продукції (людино-години, людино-дні).

Грошові одиниці — характеризують обсяги явищ у вартісному виразі.

Процентні пункти — різниця між частками складових сукупності, порівнянних у часі.

Логічна формула середньої арифметичної — словесна формула, що розкриває сутність осереднювальної ознаки та відбиває характер алгебраїчного зв’язку між індивідуальними значеннями ознаки та її загальним обсягом.

1. Які величини характеризують склад статистичної сукупності?

2. Чи можуть відносні величини визначатися на підставі середніх або інших відносних величин?

3. За яких умов застосування середніх некоректне?

4. Які види середніх використовуються за відсутності інформації про ваги або в разі, коли замість окремих значень осереднювальної ознаки наведено лише сумарні значення складових логічної формули?