- •1. Возрастание и убывание функции.
- •Примеры
- •2. Экстремумы функции.
- •Примеры
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •Примеры
- •2Способ (с помощью второй производной)
- •4. Выпуклость функции и точки перегиба.
- •Примеры
- •5. Асимптоты.
- •Примеры
- •6. Построение графиков функций.
- •6.7. Исследовать параметрически заданную кривую
- •И построить ее.
- •Литература
- •Содержание
- •Учебное издание Александр Борисович Дюбуа Светлана Николаевна Машнина
6. Построение графиков функций.
При построении графика функции удобно следовать следующей схеме.
-
Область определения функции.
-
Четность (нечетность), периодичность функции.
-
Точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых и .
-
Стационарные и критические точки, промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы.
-
Возможные точки перегиба, промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.
-
Асимптоты графика.
-
График функции.
Примеры
6.1. Исследовать функцию : и построить её график.
1) Область определения функции: . Точек разрыва нет.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : точки и .
С осью : точка .
На всей области определения функция .
-
Найдём стационарные точки. Так как
,
то, решая уравнение: , получаем
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
убывает |
||
0 |
min
|
|
возрастает |
||
0 |
max |
|
убывает |
||
0 |
min |
|
возрастает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то решением уравнения будет .
Составим таблицу знаков второй производной
выпукла вниз |
||
0 |
точка перегиба |
|
выпукла вверх |
||
0 |
точка перегиба |
|
выпукла вниз |
-
Так как у исследуемой функции нет точек разрыва и
,
то асимптот у графика нет.
7) Используя данные, полученные в п.п. 1-6, построим график функции.
6.2. Исследовать функцию: и построить её график.
1) Область определения функции: . Точек разрыва нет.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : точки и .
С осью : точка .
Функция при и при .
-
Найдём стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение , получаем стационарную точку . Кроме того, имеются две критических точки и в которых производная бесконечна.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
убывает |
||
экстремума нет
|
||
возрастает |
||
0 |
min |
|
возрастает |
||
экстремума нет |
||
возрастает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то возможными точками перегиба будут точки и .
Составим таблицу знаков второй производной
выпукла вверх |
||
точка перегиба |
||
выпукла вниз |
||
точка перегиба |
||
выпукла вверх |
6) Найдём асимптоты. Так как точек разрыва нет, и
,
то асимптот у графика функции нет.
7) Построим график функции
6.3. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения функции: .
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : точек пересечения нет.
С осью : точка .
Функция при и при .
4) Найдем стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение , получаем стационарную точку . Кроме того, имеются две критических точки и в которых производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
возрастает |
||
не существует |
разрыв 2 рода |
|
возрастает |
||
0 |
точка максимума |
|
убывает |
||
не существует |
разрыв 2 рода |
|
убывает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то точек перегиба нет, а промежутками постоянного направления выпуклости будут интервалы , , .
Составим таблицу знаков второй производной.
выпукла вниз |
||
разрыв 2 рода |
||
выпукла вверх |
||
разрыв 2 рода |
||
выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальные: , , так как в этих точках функция имеет разрыв 2 рода.
Найдём наклонную асимптоту. Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
,
получаем горизонтальную асимптоту , наклонных асимптот нет.
7) Построим график функции.
6.4. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения функции:.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : .
С осью : точек пересечения нет.
Функция при и при .
4) Найдем стационарные и критические точки. Вычисляя первую производную
,
находим критические точки и , в которых производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
убывает |
||
разрыв 2 рода |
||
не определена |
не определена |
|
разрыв 2 рода |
||
убывает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
а точка не принадлежит области определения, то будем два интервала постоянной выпуклости - и . При , поэтому функция выпукла вверх, , поэтому функция выпукла вниз.
6) Найдём асимптоты.
Вертикальные: , так как функция терпит разрыв в этих точках.
Найдём наклонную (горизонтальную) асимптоту.
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
; .
Таким образом, - горизонтальная асимптота.
7) Построим график функции.
6.5. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения функции: . Точек разрыва нет.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : точка .
С осью : точка .
Функция при и при .
-
Найдём стационарные точки. Так как
,
то в точках и , производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
убывает |
||
0 |
точка минимума |
|
возрастает |
||
0 |
точка максимума |
|
убывает |
-
Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то в точках и , вторая производная не существует, а в точке она равна нулю.
Составим таблицу знаков второй производной.
выпукла вверх |
||
не существует |
|
|
выпукла вниз |
||
0 |
|
|
выпукла вверх |
||
не существует |
|
|
выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
Найдём наклонную асимптоту.
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
.
Таким образом, прямая - горизонтальная асимптота.
7) Построим график функции.
6.6. Исследовать функцию и построить её график.
1) Область определения функции: . Точек разрыва нет.
2) Функция не четная, не нечетная , , периодическая период .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью точек пересечения нет.
С осью : точка .
Функция при .
4) Найдём стационарные точки. Так как
,
то стационарными будут точки ,
Составим таблицу знаков производной и поведения функции на интервале .
убывает |
||
0 |
точка минимума |
|
возрастает |
||
0 |
точка максимума |
|
убывает |
Таким образом, точки - точки минимума, а - точки максимума. На интервалах функция убывает, а на интервалах функция убывает ().
5) Найдём возможные точки перегиба.
.
Тогда корнями уравнения будут точки , , .
Составим таблицу знаков второй производной на интервале .
выпукла вверх |
||
0 |
точка перегиба |
|
выпукла вниз |
Таким образом, точки , - точки перегиба,
6) Асимптоты отсутствуют.
7) Построим график функции
6.6. Исследовать функцию и построить её график
.
1) Область определения функции: . Точка - точка разрыва 2 рода.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : точки пересечения , .
С осью : точка . Функция при и при .
4) Найдем стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение , получаем стационарные точки и . Кроме того, имеется еще одна критическая точка в которой производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
возрастает |
||
0 |
точка максимума |
|
убывает |
||
точка разрыва 2 рода |
||
убывает |
||
0 |
точка минимума |
|
возрастает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то точек перегиба нет, а промежутками постоянного направления выпуклости будут интервалы , .
Составим таблицу знаков второй производной.
выпукла вверх |
||
разрыв 2 рода |
||
выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальная: , так как в этой точке функция имеет разрыв 2 рода.
Найдём наклонную асимптоту. Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
,
получаем наклонную асимптоту , горизонтальных асимптот нет.
7) Построим график функции.