- •1. Возрастание и убывание функции.
- •Примеры
- •2. Экстремумы функции.
- •Примеры
- •3. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •Примеры
- •2Способ (с помощью второй производной)
- •4. Выпуклость функции и точки перегиба.
- •Примеры
- •5. Асимптоты.
- •Примеры
- •6. Построение графиков функций.
- •6.7. Исследовать параметрически заданную кривую
- •И построить ее.
- •Литература
- •Содержание
- •Учебное издание Александр Борисович Дюбуа Светлана Николаевна Машнина
2Способ (с помощью второй производной)
Найдём вторую производную:
;
Найдём значение второй производной в критических точках.
.
.
Значит, прибыль в точке максимальная.
Найдём значение максимальной прибыли:
.
3.9. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 15 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?
Пусть , тогда:
.
Объём:
.
;
Найдём критические точки функции:
;
;
;
.
Получили, чтобы объём воронки с образующей 15 см был наибольшим, высота её должна быть равной см.
4. Выпуклость функции и точки перегиба.
Достаточные условия выпуклости.
Пусть существует на отрезке , а — на интервале . Тогда:
1) если
при всех ,
то функция выпукла вниз на отрезке .
2) если
при всех ,
то функция выпукла вверх на отрезке .
Необходимое условие наличия точки перегиба.
Если — точка перегиба функции и если функция имеет в некоторой окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то
.
Достаточные условия наличия точки перегиба.
1) Если функция непрерывна в точке , имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если функция меняет знак при переходе через точку , то — точка перегиба функции .
2) Если , , то — точка перегиба функции .
Примеры
4.1. Показать, что функции выпукла вверх на всей области определения.
Вычислим вторую производную
.
Область определения функции
множество . Очевидно, для любых .
4.2. Найти точки перегиба линии , .
Вычислим вторую производную параметрически заданной функции оп формуле
.
Так как , , , , получаем
.
Разобьем ось точками , , на три интервала. На каждом из этих интервалов вторая производная сохраняет знак. Составим таблицу значений , и знака на соответствующих интервалах.
От до |
|||
Таким образом, точками перегиба будут и .
4.3. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции
Вычисляя производные
, .
Составим таблицу постоянства знаков второй производной.
Выпукла вниз |
||
Точка перегиба |
||
Выпукла вверх |
Таким образом, точка - точка перегиба.
4.4. Найти точки перегиба линии , .
Вычислим вторую производную, параметрически заданной функции по формуле
.
Так как , , , , получаем
.
Точки, в которых определяются из уравнения , и нетрудно убедиться, что в , , вторая производная меняет знак, следовательно, эти точки – точки перегиба.
4.5. Показать, что точки перегиба линии лежат на линии .
Точки пересечения линий удовлетворяют уравнению
. (*)
Покажем, что точки перегиба линии удовлетворяют этому уравнению. Вычисляя вторую производную и приравнивая ее нулю получаем уравнение
или , (**)
так как . Подставляя (**) в (*) получаем тождество
.