Решение
Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции
где
число разбиений n должно быть кратным трем.
1)
Вычисления запишем в таблице (табл. 52).
Таблица 52
|
i |
xi |
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
1,20 1,44 4,68 1,92 2,16 2,40 2,64 2,88 3,12 3,36 |
1,57600 1,82944 2,12896 2,47456 2,86624 3,30400 3,78784 4,31776 4,89376 5,51584 |
3,42127 3,52866 3,64657 3,77291 3,90599 4,04450 4,18742 4,33392 4,48338 4,63530 |
0,46065
1,18996 |
0,51845 0,58383
0,73381 0,81691
0,99627 1,09153 |
0,65588
0,90458 |
|
|
1,65061 |
4,74080 |
1,56046 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
||||
2)
Составим аналогичную таблицу вычислений (табл.53).
Полученные
результаты совпадают с точностью до
стотысячных, поэтому принимаем
.
Таблица 53
|
i |
xi |
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
1,20 1,38 1,56 1,74 1,92 2,10 2,28 2,46 2,64 2,82 3,00 3,18 3,36 |
1,57600 1,76176 1,97344 2,21104 2,47456 2,76400 3,07936 3,42064 3,78784 4,18096 4,60000 5,04496 5,51584 |
3,42127 3,50073 3,58644 3,67744 3,77299 3,87216 3,97464 4,07986 4,18742 4,29700 4,40832 4,52115 4,63530 |
0,46065
1,18996 |
0,50325 0,55025
0,65588 0,71381
0,83842 0,90458
1,04348 1,11586 |
0,60124
0,77475
0,97300
|
|
|
1,65061 |
6,32553 |
2,34899 |
|||
|
1 |
2 |
3 |
||||
Задание на лабораторную работу №1
Выполнить следующие работы в табличном редакторе (например, MS Excel) и проверить решение в Mathcad.
Работа 1
Задание. 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов:
;
2) Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n1=8; n2=10:
.
Варианты к первому заданию приведены в табл. 6.1 прил.6, варианты ко второму – в табл. 6.2 прил. 6.
Работа 2
Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.
;
2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n = 8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.
.
Варианты заданий к п. 1) приведены в табл. 6.3 прил.6, к п.2) – в табл. 6.4. прил.6.
Работа 3
Задание. Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n1=9 и n2=12.
.
Варианты заданий приведены в табл. 6.5 прил.6.
Приложение 6
Таблица 6.1
-
№ вар.
A
b
a1
b1
c1
a2
b2
a3
b3
c3
1
0,6
1,4
1,0
0,0
5,0
2,0
0,0
1,00
0,0
0,5
2
0,4
1,2
0,0
0,5
2,0
0,0
0,8
2,00
0,0
1,0
3
0,8
1,8
0,8
0,0
1,0
1,0
0,0
1,05
0,0
2,0
4
1,0
2,2
0,0
1,5
0,6
0,0
1,6
0,80
0,0
2,0
5
1,2
2,0
2,0
0,0
1,6
2,0
0,0
0,50
0,0
3,0
6
1,3
2,5
1,0
0,0
0,6
0,0
1,4
0,80
0,0
1,3
7
1,2
2,6
0,0
0,4
1,7
1,5
0,0
1,00
0,0
1,3
8
0,8
1,6
0,3
0,0
2,3
0,0
1,8
0,00
2,0
1,6
9
1,2
2,0
0,0
0,6
1,7
2,1
0,0
0,70
0,0
1,0
10
0,8
2,4
0,4
0,0
1,5
0,0
2,5
0,00
2,0
0,8
11
1,2
2,8
0,0
1,2
0,7
1,4
0,0
1,30
0,0
0,5
12
0,6
2,4
1,1
0,0
0,9
0,0
1,6
0,80
0,0
1,4
13
0,7
2,1
0,0
0,6
1,5
2,0
0,0
1,00
0,0
3,0
14
0,8
2,4
0,0
1,5
2,3
0,0
3,0
0,00
0,3
1,0
15
1,9
2,6
0,0
2,0
1,7
0,0
2,4
1,20
0,0
0,6
16
0,5
1,9
0,7
0,0
2,3
0,0
3,2
0,00
0,8
1,4
17
1,0
2,6
0,0
0,4
3,0
0,7
0,0
2,00
0,0
0,5
18
0,7
2,1
1,7
0,0
0,5
0,0
1,4
0,00
1,2
1,3
19
0,6
2,2
0,0
1,5
1,0
1,2
0,0
1,00
0,0
1,8
20
1,2
3,0
2,0
0,0
0,7
0,0
1,5
0,00
0,8
1,0
21
1,3
2,7
1,3
0,0
0,8
1,7
0,0
0,00
2,0
0,5
22
0,6
1,4
1,0
0,0
0,5
2,0
0,0
1,00
0,0
2,5
23
0,4
1,2
2,0
0,0
1,0
0,8
0,0
0,00
0,5
2,0
Окончание табл. 6.1
-
24
0,8
1,8
1,5
0,0
2,0
1,0
0,0
0,80
0,0
1,0
25
1,0
2,2
0,8
0,0
2,0
0,0
1,6
0,00
1,5
0,6
26
1,2
2,0
0,5
0,0
3,0
2,0
0,0
2,00
0,0
1,6
27
1,3
2,5
0,8
0,0
1,3
0,0
1,4
1,00
0,0
0,6
28
1,2
2,6
1,0
0,0
1,3
1,5
0,0
0,00
0,4
1,7
29
0,8
1,6
0,0
2,0
1,6
0,0
1,8
0,30
0,0
2,3
30
1,2
2,0
0,7
0,0
1,0
2,1
0,0
0,00
0,6
1,7
Таблица 6.2
-
№ вар.
a
b
a1
b1
c1
k
n
a2
b2
c2
1
0,2
0,8
0,0
2,0
0,5
2,0
1,0
1,0
0,0
1,0
2
0,3
0,9
0,0
0,8
1,2
1,5
1,0
1,0
0,0
0,6
3
0,4
1,0
0,0
1,0
1,4
0,8
1,0
2,0
0,0
0,5
4
0,6
1,0
0,6
0,0
0,4
1,4
2,0
0,0
1,0
0,7
5
0,5
1,3
0,0
0,5
0,4
1,2
1,0
1,0
0,0
0,4
6
0,4
0,8
1,0
0,0
0,6
0,7
1,0
0,0
0,8
1,0
7
0,3
1,5
0,0
0,3
1,2
1,3
2,0
0,0
0,5
1,0
8
0,5
1,8
1,0
0,0
0,6
1,2
1,0
0,0
0,7
0,2
9
0,4
1,2
0,0
1,5
0,3
2,3
1,0
0,4
0,0
1,0
10
0,4
1,2
1,0
0,0
0,8
1,5
1,0
0,0
0,6
0,5
11
0,5
1,3
0,0
0,7
0,4
2,2
1,0
0,3
0,0
0,7
12
0,4
1,4
0,8
0,0
1,0
1,4
1,0
0,0
0,3
0,5
13
0,2
1,0
0,8
0,0
0,3
0,7
1,0
0,0
1,2
0,3
14
0,3
1,1
0,0
0,3
0,5
1,8
1,0
1,0
0,0
0,8
15
0,3
1,1
0,6
0,0
0,0
2,4
1,0
0,0
1,0
0,5
Окончание табл. 6.2
-
№ вар.
a
b
a1
b1
c1
k
n
a2
b2
c2
16
0,4
1,2
0,0
0,4
0,6
0,8
2,0
0,0
1,0
0,5
17
0,4
1,8
0,2
0,0
0,7
1,4
1,0
0,0
0,5
0,2
18
0,2
1,0
0,0
0,3
0,8
0,9
1,0
0,0
0,4
0,3
19
0,3
1,1
0,0
0,8
0,3
1,2
1,0
1,0
0,0
0,4
20
0,5
1,3
1,0
0,0
0,2
1,3
1,0
0,0
2,0
0,4
21
0,4
1,2
0,0
0,6
0,5
1,5
1,0
1,0
0,0
0,4
22
0,2
0,8
1,0
0,0
1,0
2,0
1,0
0,0
2,0
0,5
23
0,3
0,9
1,0
0,0
0,6
1,5
1,0
0,0
0,8
1,2
24
0,4
1,0
2,0
0,0
0,5
0,8
1,0
0,0
1,0
1,4
25
0,6
1,0
0,0
1,0
0,7
1,4
1,0
0,0
0,6
0,4
26
0,5
1,3
1,0
0,0
0,4
1,2
1,0
0,0
0,5
0,4
27
0,4
0,8
0,0
0,8
1,0
0,7
1,0
1,0
0,0
0,6
28
0,3
1,5
0,5
0,0
1,0
1,3
1,0
0,0
0,3
1,2
29
0,5
1,1
0,0
0,7
0,2
1,2
1,0
1,0
0,0
0,6
30
0,4
1,2
0,4
0,0
1,0
2,3
1,0
1,5
1,5
0,3
Таблица 6.3
-
№
а
b
с1
с2
№
а
b
с1
с2
1
0,80
1,60
2,0
1,0
8
1,20
2,40
1,0
0,5
2
1,20
2,70
1,0
3,2
9
0,40
1,20
1,0
3,0
3
1,00
2,00
2,0
1,3
10
0,60
1,50
2,0
1,0
4
0,20
1,20
1,0
1,0
11
2,00
3,50
1,0
-1,0
5
0,80
1,40
2,0
3,0
12
0,50
1,30
1,0
2,0
6
0,40
1,20
0,5
2,0
13
1,20
2,60
1,0
0,6
7
1,40
2,10
3,0
-1,0
14
1,40
2,20
3,0
1,0
Окончание табл. 6.3
-
№
а
b
с1
с2
№
а
b
с1
с2
15
0,80
1,80
1,0
4,0
23
2,10
3,60
1,0
-3,0
16
1,60
2,20
1,0
2,5
24
1,30
2,50
0,2
1,0
17
0,60
1,60
1,0
0,8
25
0,60
1,40
12,0
0,5
18
1,20
2,00
1,0
1,2
26
1,30
2,10
3,0
-0,4
19
1,40
2,00
2,0
0,7
27
1,40
2,60
1,5
0,7
20
3,20
4,00
0,5
1,0
28
0,15
0,50
2,0
1,6
21
0,80
1,70
2,0
0,3
29
2,30
0,50
1,0
-4,0
22
1,20
2,00
0,5
1,5
30
0,32
0,66
1,0
2,3
Таблица 6.4
-
№
а
b
f(x)
№
а
b
f(x)
1
1,20
2,00
7
0,80
1,60
2
1,60
2,40
(x+1)sinx
8
0,40
1,20
3
0,20
1,00
9
0,40
1,20
4
0,60
1,40
10
0,40
0,80
5
0,40
1,20
11
0,18
0,98
6
0,80
1,20
12
0,20
1,80
