Примеры выполнения заданий

Задание 1.а) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов:

I=;

б) Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n₁=8; n₂=10:

I=.

Решение

а) Для вычислений по формулам левых и правых прямоугольников при n=10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом .

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка (табл.46).

В таблице найдены значения сумм ; .

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

.

Таблица 46

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,50 1,58 1,66 1,74 1,82 1,90 1,98 2,06 2,14 2,22 2,30	1,650 1,674 1,698 1,722 1,746 1,770 1,794 1,818 1,842 1,866 1,890	1,2845 1,2938 1,3031 1,3122 1,3214 1,3304 1,3394 1,3483 1,3572 1,3660 1,3748	1,6583 1,7310 1,8043 1,8782 1,9525 2,0273 2,1025 2,1780 2,2538 2,3299 2,4062	4,0583 4,2590 4,4603 4,6622 4,8545 5,0673 5,2705 5,4740 5,6778 5,8819 6,0862	0,3165 0,3037 0,2922 0,2815 0,2716 0,2626 0,2541 0,2463 0,2390 0,2322 0,2259

По формуле правых прямоугольников находим

.

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных

.

б) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

.

Вычисления выполним дважды при n₁= 8 и n₂=10 и соответственно при h₁=(b-a)/n₁= (1,2–0,4)/10=0,08. Результаты вычислений приведены в табл. 47 и 48.

Таблица 47

0 1 2 3 4 5 6 7	0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1	0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 1,05 1,15	0,53963 0,58914 0,63654 0,68164 0,72429 0,76433 0,80162 0,83603	1,86750 1,76824 1,64832 1,50947 1,35550 1,19300 1,03186 0,88559	0,28896 0,33318 0,38618 0,45158 0,53433 0,64068 0,77687 0,94404

Таблица 48

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0,40 0,48 0,56 0,64 0,72 0,80 0,88 0,96 1,04 1,12	0,44 0,52 0,60 0,68 0,76 0,84 0,92 1,00 1,08 1,16	0,53457 0,57451 0,61312 0,65032 0,68602 0,72014 0,75260 0,78333 0,81225 0,83930	1,87627 1,80022 1,71080 1,60852 1,49467 1,37142 1,24212 1,11150 0,98571 0,87241	0,28491 0,31913 0,35838 0,40430 0,45898 0,52511 0,60590 0,70475 0,82403 0,96205

Найдем приближенные значения интеграла

Значения различаются в десятичных долях, но второе значение точнее первого, поэтому принимаем .

Задание 2. а) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

.

б) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n = 8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

.

Решение

а) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

. (*)

Здесь

Находим

Положим М₂=7, тогда неравенство (*) примет вид , откуда n²>252, т.е. n>16; возьмем n=20.

Вычисление интеграла производим по формуле

где

Все расчеты приведены в табл. 49.

Таблица 49

0 1 2 3 4	0,70 0,73 0,76 0,79 0,82	0,4900 0,5329 0,5776 0,6241 0,6724	1,2800 1,3658 1,4552 1,5482 1,6448	1,1314 1,1686 1,2063 1,2443 1,2825	0,88386	0,85572 0,82898 0,80366 0,77973